\begin{methode*1}[Identifier la forme d'une fonction \MethodeRefExercice*{2F5_E_identifier}]
 \exercice \label{2F5_M_identifier}
Soit $f$, $g$, $h$ trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par:
\begin{colitemize}{3}
\item $f(x)=2x^2+4x-6$ \item $g(x)=2(x+1)^2-8$ \item $h(x)=2(x-1)(x+3)$.
\end{colitemize}
\vspace{-1.5em}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $f$, $g$, $h$ sont trois formes de la même fonction.
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant la forme la plus adaptée.
\begin{enumerate}
\item Chercher les éventuels antécédents de 0 et de $-6$.
\item Déterminer les coordonnées du sommet de la courbe représentative de cette fonction.
\item Calculer les images de 0, de 1 et de $-1$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{-2em}
\correction
\begin{enumerate}
      \item On développe $g$ et $h$ pour prouver qu'elles sont égales à $f$.\\
      $g(x)=2(x+1)^2-8=2x^2+4x+2-8=2x^2+4x-6$\\
      $h(x)=(2x-2)(x+3)=2x^2+6x-2x-6=2x^2+4x-6$.\\
      %Ainsi, $f$, $g$ et $h$ sont 3 formes de la même fonction.\\
      $f$ est la forme \textbf{développée}, $g$ la forme \textbf{canonique} et $h$ la forme \textbf{factorisée} du même trinôme.
      \item 
      \begin{enumerate}
	\item Chercher les antécédents, c'est résoudre une équation.
	    \begin{itemize}
	    \item Pour l'antécédent de 0, la forme  la plus adaptée est  la \textbf{forme factorisée}. \\On résout $h(x)=2(x-1)(x+3)=0$. Les antécédents de 0 sont 1 et $-3$.
	    \item Pour l'antécédent de $-6$, la plus pertinente est la \textbf{forme développée}.\\
	    On résout $f(x)=2x^2+4x-6=-6$. On obtient $2x^2+4x=0$.\\ On factorise l'expression: $x(2x+4)=0$.
	    Les antécédents de $-6$ sont $0$ et $-2$.
	    \end{itemize} 
	\item Pour chercher les coordonnées du sommet d'une parabole, la \textbf{forme canonique} est la plus pertinente. Ici, c'est $g$ avec $\alpha=-1$. \\ Donc les coordonnées du sommet de la parabole sont $(-1;-8)$.
	\item Calculer une image, c'est évaluer une expression. La forme la plus adaptée dépend de $x$.
	    \begin{itemize}
	    \item $f(0)=-6$, l'image de 0 est $-6$.
	    \item $h(1)=0$, l'image de 1 est 0.
	    \item $g(-1)=-8$, l'image de $-1$ est $-8$.
	    \end{itemize}	    
\end{enumerate}	    
\end{enumerate}
\end{methode*1}
