\begin{TP}[Famille de fonctions][\tice]
Soit $k$ un entier relatif. On souhaite étudier les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $$f_k(x)=-x^2+kx.$$
\`A chaque valeur de $k$ correspond une fonction $f_k$.\\
On note $\mathcal{P}_k$ la parabole représentant la fonction $f_k$.
 \partie{Étude du cas particulier de la fonction $f_2$}
 Dans cette partie, on prendra $k=2$.
 \begin{enumerate}
  \item Donner l'expression de $f_2(x)$.
  \item Développer $-(x-1)^2+1$. Préciser son maximum sur $\mathbb{R}$.
  \item Dresser son tableau de variations.
 \end{enumerate}
\partie{Étude graphique de la famille de fonctions}
Dans cette partie, on utilise un logiciel de géométrie dynamique.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item Représenter, dans un même repère, $f_1$, $f_2$, $f_4$, $f_{-2}$ et $f_{-6}$.
 \item Les cinq paraboles semblent passer par un même point, $S$. Préciser ses coordonnées. 
 \item Calculer $f_k(0)$. Que vient-on de vérifier?
\end{enumerate}
\parbox{0.6\textwidth}{
\item On a représenté ci-contre une parabole de la famille étudiée .
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les antécédents de 0.
\item Factoriser $f_k(x)=-x^2+kx$.\\ En déduire les solutions de l'équation $f_k(x)=0$.
\item À quelle valeur de $k$ correspond la parabole ci-contre?
\end{enumerate}}
\hfill
{
\parbox{0.3\textwidth}{
\begin{tikzpicture}[general,xscale=0.7,yscale=0.4]
\draw [quadrillage] (-4,-4) grid (1,3);
\axeX{-4}{1}{-3,-2,-1}
\axeY{-4}{3}{-2,2}
\origine
\draw[epais,color=A1,smooth,samples=100,domain=-4:1] plot(\x,{0-(\x)^2-3*(\x)});
\end{tikzpicture}
}}
\end{enumerate}
\partie{Une propriété de la famille de fonctions}
%Ouvrir le fichier \textit{ms2\_tp\_famille\_fonctions.ggb}.
Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique. 
\begin{enumerate}
\item Créer un paramètre $k$ pouvant varier de $-10$ à 10, avec un pas de 1. \\Créer la fonction $x\mapsto -x^2+kx$.
 \item Faire varier $k$. Vérifier les résultats des questions précédentes.
 \item Activer la trace de la parabole puis faire varier $k$.\\ Parmi ces paraboles, sélectionner $\mathcal{P}_5$ et $\mathcal{P}_{-5}$. Les colorier en bleu.
 \item Que représente le point $S$ pour la parabole $\mathcal{P}_k$? Activer sa trace.\\
 Tracer, en rouge, la courbe de la fonction carrée. Que constate-t-on?
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=0.4,yscale=0.08]
\draw [quadrillage, xstep=5,ystep=5] (-15,-25) grid (15,40);
\axeX{-15}{15}{-10,-5,5,10,-15}
\axeY{-25}{40}{-20,-10,10,20,30}
\origine
\draw(8.07,30.71) -- (13.21,30.71);
\draw[smooth,domain=-2.071:12.071, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+10*\x);
\draw[smooth,domain=-2.226:11.226, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+9*\x);
\draw[smooth,domain=-2.403:10.403, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+8*\x);
\draw[smooth,domain=-2.603:9.603, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+7*\x);
\draw[smooth,domain=-2.83:8.83, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+6*\x);
\draw[smooth,domain=-3.090:8.090, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+5*\x);
\draw[smooth,domain=-3.385:7.385, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+4*\x);
\draw[smooth,domain=-3.720:6.720, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+3*\x);
\draw[smooth,domain=-4.099:6.099, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+2*\x);
\draw[smooth,domain=-4.524:5.524, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+\x);
\draw[smooth,domain=-5:5, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x);
\draw[smooth,domain=-5.524:4.524, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x-\x);
\draw[smooth,domain=-6.099:4.099, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x-2*\x);
\draw[smooth,domain=-6.720:3.720, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x-3*\x);
\draw[smooth,domain=-7.385:3.385, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x-4*\x);
\draw[smooth,domain=-8.090:3.090, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x-5*\x);
\draw[smooth,domain=-8.83:2.83, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x-6*\x);
\draw[smooth,domain=-9.603:2.603, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x-7*\x);
\draw[smooth,domain=-10.403:2.403, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x-8*\x);
\draw[smooth,domain=-11.226:2.226, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x-9*\x);
\draw[smooth,domain=-12.071:2.071, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x-10*\x);
\draw[tres epais,color=C1, smooth,domain=-6.324:6.324] plot(\x,{(\x)^2});
\draw (13.21,30.71) node {$\bullet$};
\draw[color=black] (13.68,33.15) node {$k = 10$};
\draw[color=F1] (5,25) node[above left] {$S$};
\foreach \x/\y in {5/25,-5/25,-4.5/20.25,-4/16,-3.5/12.25,-3/9,-2.5/6.25,-2/4,-1/1,1/1,2/4,2.5/6.25,3.5/12.25,4/16, 4.5/20.25}{\draw [color=F1] (\x,\y) node {$\bullet$};}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{TP}

% \foreach \k/\b/\a in { 0/5/-5, 1/5.524/-4.524, 2/6.099/-4.099, 3/6.720/-3.720, 4/7.385/-3.385, 5/8.090/-3.090, 6/8.830/-2.830, 7/9.603/-2.603, 8/10.403/-2.403, 9/11.226/-2.226, 10/12.071/-2.071}
% {\draw[smooth,domain=\b:\a, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+\k*\x);}
% \foreach \k/\b/\a in {
% -10/2.071/-12.071, -9/2.226/-11.226, -8/2.403/-10.403, -7/2.603/-9.603, -6/2.830/-8.830}
% {\draw[smooth,domain=\b:\a, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+\k*\x);}
% \foreach \k/\b/\a in { -5/3.090/-8.090, -4/3.385/-7.385, -3/3.720/-6.720}
% {\draw[smooth,domain=\b:\a, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+\k*\x);}
% % \foreach \k/\b/\a in { -2/4.09/-6.09, -1/4.524/-5.524}
% % {\draw[smooth,domain=\b:\a, line cap=rect] plot(\x,-\x*\x+\k*\x);}