\begin{TP}[Modélisations en sciences physiques]


Un des phénomènes étudiés en sciences physiques au lycée est la chute libre des corps.\\ Un corps en chute libre est un corps qui n'est soumis qu'à son poids.

\partie{Lâcher d'une bille sans vitesse initiale}
 On lâche une bille à \um{5} du sol, sans vitesse initiale. Voici les relevés de cette expérience:
 
% \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
% \hline
% temps (en \us{})&0,1&0,2&0,3&0,4&0,5&0,6&0,7&0,8&0,9&1\\
% \hline
% distance (en \um{})&0,05&0,20&0,44&0,78&1,23&1,76&2,4&3,14&3,97&4,90\\
% \hline
% \end{tabular}
\begin{tableau}[LC]{\linewidth}{11}{m{4cm}}
 \hline
 Temps  (en \us{}) &0,1&0,2&0,3&0,4&0,5&0,6&0,7&0,8&0,9&1\\
 \hline
 Distance parcourue  (en \um{})&0,05&0,20&0,44&0,78&1,23&1,76&2,4&3,14&3,97&4,90\\
 \hline
 \end{tableau}
 \vspace{-1em}
 \begin{enumerate}
 \item Dans un repère orthonormé, tracer le nuage de points correspondant au tableau ci-dessus.\\
 (Unité en abscisses : \ucm{10} pour \us{1}, unité en ordonnées : \ucm{2} pour \um{1}.)
 \item Peut-on modéliser cette situation à l'aide d'une fonction affine? Argumenter.
 \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
 \begin{tableau}[LC]{\linewidth}{11}{m{4cm}}
 \hline
Temps $t$ (en \us{})&0,1&0,2&0,3&0,4&0,5&0,6&0,7&0,8&0,9&1\\
 \hline
 $t^2$&&&&&&&&&&\\
 \hline
Distance $d$ (en \um{})&0,05&0,20&0,44&0,78&1,23&1,76&2,4&3,14&3,97&4,90\\
 \hline
 \end{tableau}
 \item Quelle relation semble-t-il y avoir entre la deuxième ligne et la troisième ligne du tableau?\\
 En déduire une relation entre $t$ et $d$.
 \item On lâche une bille à \um{6} du sol. \`A quel instant touche-t-elle le sol?
 \end{enumerate}
 \vspace{-1em}
\begin{cadre}[A1][A4] 
Un corps en chute libre aura sa position décrite par\textbf{ une fonction du second degré} du temps $t$, appelée équation horaire du mouvement.
 \end{cadre}
 
 \partie{Étude du lancer d'une fusée à eau}

Une expérience consiste à lancer une fusée à eau. À l'aide d'une caméra et d'un logiciel adapté, on relève la hauteur de la fusée en fonction du temps.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=2.5,yscale=0.12]
\draw[quadrillageNIV2,xstep=.125,ystep=2.5 ] (0,0) grid (4,25);
\draw[quadrillage,xstep=.25,ystep=5 ] (0,0) grid (4,25);
\draw (-0.25,12.5) node[rotate=90] {\textbf{Hauteur (en m)}};
\draw (4,0) node[below right] {\textbf{Temps (en s)}};

\foreach \x/\y in {0.080/1.18,
0.160/4.09,
0.240/6.45,
0.320/8.44,
0.400/10.14,
0.480/11.61,
0.560/12.90,
0.640/14.04,
0.720/15.03,
0.800/15.91,
0.880/16.68,
0.960/17.36,
1.040/17.94,
1.120/18.45,
1.200/18.88,
1.280/19.23,
1.360/19.51,
1.440/19.73,
1.520/19.88,
1.600/19.97,
1.680/19.99,
1.760/19.96,
1.840/19.85,
1.920/19.69,
2.000/19.47,
2.080/19.18,
2.160/18.84,
2.240/18.44,
2.320/17.99,
2.400/17.48,
2.480/16.93,
2.560/16.33,
2.640/15.69,
2.720/15.01,
2.800/14.30,
2.880/13.54,
2.960/12.76,
3.040/11.95,
3.120/11.12,
3.200/10.26,
3.280/9.38,
3.360/8.48,
3.440/7.56,
3.520/6.63,
3.600/5.69,
3.680/4.73,
3.760/3.76,
3.840/2.78,
3.920/1.80,
4.000/0.80
} \draw[color=C1] (\x,\y) node{$\bullet$};

\axeY{0}{25}{0,5,10,15,20} 
\axeX{0}{4}{0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5} 
 \end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-2em}
\begin{enumerate}
\item \`A quelle hauteur se trouve la fusée au bout de \us{1}? au bout de \us{3}?
\item On suppose que la hauteur en fonction du temps suit l'équation horaire  de la chute libre, soit :  $d(t)=-\dfrac{1}{2}g\left(t-\alpha\right)^2+\beta$, avec $g$ accélération de la pesanteur ($g\approx \um{9,81}$.s\up{$-2$}).
\begin{enumerate}
\item Repérer le point le plus haut de la trajectoire. En déduire les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$.
\item En déduire l'expression de $d(t)$.
\item Sur le graphique, tracer la parabole représentant $d$.\\ Que peut-on observer? Ce modèle est-il satisfaisant? Justifier.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quelle fonction affine $d(t)=at+b$ peut modéliser l'équation horaire pour $t>\us{3}$?
\item Sur le graphique précédent, représenter la fonction affine $d$ sur l'intervalle $[3;4]$.
\item Comment expliquer ce phénomène?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{TP}
