\begin{propriete}
 
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a\neq 0$.

La \MotDefinition{fonction affine}{} définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$ s'annule et change de signe une fois dans son domaine de définition pour $x=-\dfrac{b}{a}$.


\parbox{0.49\linewidth}{Si $a>0$, elle est négative puis positive.

\begin{tikzpicture}[general]
\draw[fill=F4, color=F4] (-2,-1) rectangle (-0.5,2);
\draw[fill=G4, color=G4] (4,-1) rectangle (-0.5,2);
 \draw[quadrillage55] (-2,-1)grid(4,2);
 \axeX{-2}{4}{1}
 \axeY{-1}{2}{1}
 \origine
\draw[epais, color=F1] (-2,-1)--( -0.5,0);
\draw[epais, color=G1] (-0.5,0)--( 2.5,2);
\draw[epais, color=F1] (-1.25,0.75) node[draw, circle] {$-$};
\draw[epais, color=G1] (2.75,0.75) node[draw, circle] {$+$};
\end{tikzpicture}
}\hfill\parbox{0.49\linewidth}{
Si $a<0$, elle est positive puis négative.

\begin{tikzpicture}[general]
\draw[fill=G4, color=G4] (-2,-1) rectangle (1.5,2);
\draw[fill=F4, color=F4] (4,-1) rectangle (1.5,2);
 \draw[quadrillage55] (-2,-1)grid(4,2);
 \axeX{-2}{4}{1}
 \axeY{-1}{2}{1}
 \origine
\draw[epais, color=G1] (-1.5,2)--(1.5,0);
\draw[epais, color=F1] (1.5,0)--( 3,-1);
\draw[epais, color=F1] (3.25,0.75) node[draw, circle] {$-$};
\draw[epais, color=G1] (-1.25,0.75) node[draw, circle] {$+$};
\end{tikzpicture}
}

\end{propriete}


\begin{preuve}
 Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$ avec $a\neq 0$.

$f(x)=0$ implique $ax+b=0$ soit $ax=-b$ et $x=-\dfrac{b}{ a}$. 

\begin{description}
\item[Si]{\boldmath $a>0$}, la fonction $f$ est croissante. 
\begin{itemize}
\item Pour $x<-\dfrac{b}{a}$,  $f(x)<f\left(-\dfrac{\TopStrut b}{\BotStrut a}\right)$. Or, $f\left(-\dfrac{b}{a}\right)=0$ donc $f(x)<0$.
\item Pour $x>-\dfrac{b}{a}$,  $f(x)>f\left(-\dfrac{ b}{a}\right)$. Or, $f\left(-\dfrac{b}{a}\right)=0$ donc $f(x)>0$. 
\end{itemize}
Donc $f$ est négative sur $] -\infty ; -b/a[$ puis positive sur $]-b/a; +\infty[$.
\item[Si]{\boldmath $a<0$}, la fonction $f$ est décroissante. 
\begin{itemize}
\item Pour $x<-\dfrac{b}{a}$,  $f(x)>f\left(-\dfrac{\TopStrut b}{\BotStrut a}\right)$. Or, $f\left(-\dfrac{b}{a}\right)=0$ donc  $f(x)>0$.
\item Pour $x>-\dfrac{b}{a}$,  $f(x)<f\left(-\dfrac{ b}{\BotStrut a}\right)$. Or, $f\left(-\dfrac{b}{a}\right)=0$ donc $f(x)<0$.
\end{itemize}
Donc $f$ est positive sur $] -\infty ; -b/a[$  puis négative $]-b/a; +\infty[$.
\end{description}
\end{preuve}
