\begin{exercice}[Positions relatives de trois courbes][\tice]
On a représenté sur le graphique ci-dessous les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{itemize}
\item $f(x)=-0,3(x-7)$
\item $g(x)=-x^2+8x-7$
\item $h(x)=0,1x^3-0,5x^2-1,7x+2,1$
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=0.5,yscale=0.25]
\draw [quadrillageNIV2, xstep=0.5] (-4,-10) grid (9,10);
\draw [quadrillage] (-4,-10) grid (9,10);
  \axeX{-4}{9}{1}
  \axeY{-10}{10}{1}
  \origine
\draw[color=A1] (-3,4.5) node[below] {{\boldmath ${\cal C}_f$}};
\draw[color=B1prime] (-1,-8.5) node[below] {{\boldmath ${\cal C}_g$}};
\draw[color=J1] (7.5,9) node[below] {{\boldmath ${\cal C}_h$}};
\draw[epais,color=A1,smooth,samples=100,domain=-4:9.0] plot(\x,{0-0.3*((\x)-7)});
\draw[epais,color=B1prime,smooth,samples=100,domain=-0.35:8.35] plot(\x,{0-((\x)-1)*((\x)-7)});
\draw[epais,color=J1,smooth,samples=100,domain=-4:8.23] plot(\x,{0+0.1*((\x)-1)*((\x)-7)*((\x)+3)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer qu'étudier les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ équivaut à étudier le signe de l'expression $-x^2-8,3x+9,1$.
\item \`A l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l}
\hline
\hline
\textcolor{F1}{\boldmath $factoriser(-x^2-8,3x+9,1)$}\\
\hline
$-(-1,3+x)^\ast (x-7)$\\
\hline
\hline
\end{tabular}


\end{center}

En déduire le signe de $-x^2-8,3x+9,1$ et\\ les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\end{enumerate}
\item \`A l'aide d'un logiciel de calcul formel,
 étudier les positions relatives des courbes
 \begin{enumerate}
 \item $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_h$;
 \item $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}