\begin{TP}[Convexe ou concave?]
Une fonction est \MotDefinition{convexe}{} si sa représentation graphique \og \textit{est tournée vers le haut }\fg .\\ Mathématiquement, cela signifie que, si A et B sont deux points de la représentation graphique de la fonction, le segment $[AB]$ est entièrement situé au-dessus de la courbe.
Si le segment [AB] est entièrement situé en-dessous, la fonction est \MotDefinition{concave}{}.

\partie{Un exemple: la fonction carrée}
 On considère $\mathcal{P}$ la courbe de la fonction carré. \\On appelle $A$ et $B$ les points de $\mathcal{P}$ d'abscisses respectives $a$ et $b$.\\
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=0.9,yscale=0.65]
\shorthandoff{:}
\draw [quadrillage] (-4,-2) grid (4,9);
\axeX{-4}{4}{-2,-1,1,2,3, -3}
\axeY{-2}{9}{,2,4,6,8}
\origine
\draw[color=B1prime] (-1.2,1.44) node[left] {$A$};
\draw[color=B1prime] (2.2,4.84) node[right] { $B$};
\draw[color=B1prime] (-1.2,1.44)--(2.2,4.84);
\draw[color=B1prime,dashed] (-1.2,0)--(-1.2,1.44);
\draw[color=B1prime,dashed]  (2.2,0)-- (2.2,4.84);
 \draw[color=B1prime]  (2.2,0) node[below]{\footnotesize $b$};
 \draw[color=B1prime]  (-1.2,0) node[below]{\footnotesize $a$};
\draw[epais,color = A1,smooth,samples=100,domain=-3:3] plot(\x,{(\x)^2});
\draw[color=B1prime] (-1.2,1.44) node{$\bullet$};
\draw[color=B1prime] (2.2,4.84) node{$\bullet$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On cherche à prouver, sur des exemples, que le segment $[AB]$ est au dessus de $\mathcal{P}$.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on  prendra $a=1$ et $b=2$.
\begin{enumerate}
\item Donner la fonction affine $g$ dont la représentation graphique est la droite $(AB)$.
\item Développer $(x-1)(x-2)$.
\item En déduire que $\mathcal{P}$ est en dessous de $(AB)$ sur l'intervalle $[1;2]$.
\end{enumerate}
\item Démontrer que, pour $a=-1$ et $b=1$, le segment $[AB]$ est au-dessus de $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}

\partie{En toute généralité}
Dans cette partie, on considère que $a<b$ et on souhaite démontrer que la fonction carré est convexe sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées des points $A$ et $B$?
\item Que vérifient les coordonnées d'un point du segment $[AB]$?
\item Déterminer la fonction affine $f$ dont la droite $(AB)$ est la représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire du signe du coefficient directeur? Pourquoi?
\item Que peut-on dire du signe de l'ordonnée à l'origine? Pourquoi?
\end{enumerate} 
\item Quelle inéquation faut-il résoudre pour prouver que la fonction carrée est convexe?
%\item Montrer que $x^2-(a+b)-ab=\left(x-\dfrac{\TopStrut 1}{\BotStrut 2}(a+b)\right)^2-\dfrac{1}{4}(a+b)^2-ab$.
\item Montrer que: $x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)$.
\item \'Etablir le tableau de signes de l'expression $x^2-f(x)$.
\item Conclure.
\end{enumerate}

\partie{Une autre fonction!}
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}-\{3\}$ par : $g(x)=\dfrac{\TopStrut -x}{\BotStrut x-3}$ et sa représentation graphique.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=0.55,yscale=0.55]
\draw [quadrillage] (-6,-6) grid (9,6);
\axeX{-6}{9}{1}
\axeY{-6}{6}{1}
\origine
\draw[epais,color=J1,smooth,samples=100,domain=-6:2.57] plot(\x,{0-(\x)/((\x)-3)});
\draw[epais,color=J1,smooth,samples=100,domain=3.6:9] plot(\x,{0-(\x)/((\x)-3)});
\draw[epais,dashed,color=C1] (3,-6) -- (3,6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-1.5em}
\begin{enumerate}
\item Sur quel intervalle la fonction $g$ semble-t-elle concave?
\end{enumerate}
\vspace{-1.5em}
Soit A et B deux points de la représentation graphique de $g$.\\
Leurs abscisses respectives sont notées $a$ et $b$ telles que $a<b<3$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Déterminer la fonction affine $h$ dont la représentation graphique est la droite $(AB)$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le signe du coefficient directeur? Pourquoi?
\item Peut-on déterminer le signe de l'ordonnée à l'origine? Pourquoi?
\end{enumerate}
\item Quelle inéquation faut-il résoudre pour démontrer que la fonction $g$ est convexe sur $\left]-\infty ; 3\right[$?
\item Démontrer que cela revient à résoudre $x(b-3)(a-3)+3x(x-3)-ab(x-3)<0$.
%\item Prouver que $x(b-3)(a-3)+3x(x-3)+ab(x-3)=\left( x-\dfrac{\TopStrut a+b}{\BotStrut 2}   \right)^2-\dfrac{\left( a+b \right)^2}{4}+ab$.
\item En factorisant, prouver que $x(b-3)(a-3)+3x(x-3)-ab(x-3)=3(x-a)(x-b)$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{TP}