\begin{enigme}[Les dimensions magiques]
Dans le commerce, les boîtes de conserve cylindrique de même contenance ont toutes les mêmes dimensions. 
Comment ces dimensions ont-elles été choisies? 

Hasard ou stratégie?

\partie[un peu de calcul littéral] 
On considère une boite de conserve de hauteur $h$ et de rayon $r$.
 \begin{enumerate}
  \item Exprimer le volume ${\mathcal V}$ d'un cylindre de hauteur $h$ et dont le rayon de  la base est $r$.
  \item  En déduire une expression de $h$ en fonction de ${\mathcal V}$ et $r$. 
  \item Exprimer l'aire ${\mathcal A}$ de ce cylindre en fonction de $h$ et de $r$?
\item En remplaçant $h$ par l'expression trouvée précédemment, exprimer ${\mathcal A}$ en fonction de ${\mathcal V}$ et $r$. 
 \end{enumerate}

\parbox{0.5\linewidth}{
\partie[du concret]
Dans le commerce, on trouve des boîtes de conserve de \ucmc{212}, \ucmc{425} et \ucmc{850}. 
}\hfill\parbox{0.49\linewidth}{
\includegraphics[width=4cm]{\pathmanuel/images/conserve_olivier.eps}}

 \begin{enumerate}
  \item Donner l'expression des trois fonctions qui, au rayon de la base de la boîte de conserve, associent l'aire de la boîte pour les trois volumes proposés. 
  
Les nommer ${\mathcal A}_{212}$, ${\mathcal A}_{425}$ et ${\mathcal A}_{850}$.
  \item Utiliser la calculatrice ou un tableur pour tracer dans un même repère ces trois fonctions.
  
  \item Déterminer le minimum pour chacune des trois fonctions au dixième près.\\ Relever leur antécédent et les nommer $r_{212}$, $r_{425}$ et $r_{850}$.\\ (Si besoin  dresser un tableau de valeurs pertinent).  
 \item En reprenant l'expression de $h$ en fonction de $r$ et ${\mathcal V}$ de la première partie, calculer la hauteur correspondante pour chacun des trois volumes étudiés et des trois rayons déterminés.
 
 \item \`A votre avis, quels objectifs ont sous-tendu le choix des dimensions des boîtes de conserve cylindriques?
 \end{enumerate}

\end{enigme}
