\begin{activite}[Dans la cour de l'école]
 
\`A Mathyville, les enfants aiment bien les jeux de réflexion.
Ils ont inventé le jeu suivant: 

\begin{cadre}[A1][A4]
Un élève dit \og le pirate\fg{} cache un \og Trésor \fg{} dans la cour rectangulaire de l'école.

Ensuite, il donne au joueur une carte au trésor qui indique comment évolue la distance du joueur au trésor  lorsque le joueur fait le tour de la cour en restant sur son bord.

Le joueur  doit utiliser ce message pour trouver le Trésor. 
Le joueur ne peut faire le déplacement à l'intérieur de la cour et doit  utiliser seulement ses capacités de réflexion.
\end{cadre}


\begin{multicols}{2}
Voici un exemple:
sur le schéma ci-dessous, \\le rectangle $DEFG$ représente la cour  de largeur 40 pas et de longueur 60 pas et  le trésor (T) est placé au milieu de $[EF]$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general, scale=0.7]
 \draw[color=B1prime,fill=B4] (2,-6) -- (8,-6) -- (8,-2) -- (2,-2) -- cycle;
\draw (3,-6)-- (8,-4);
\draw [color=C1] (2,-6)  node[below left] {$D$};
\draw [color=C1] (8,-6)node[below right] {$E$};
\draw [color=C1] (8,-2)node[above right] {$F$};
\draw [color=C1] (2,-2) node[above left] {$G$};
\draw [color=C1] (3,-6)node[below] {$J$};
\draw [color=C1] (8,-4)node[right] {$T$};
\draw [color=C1] (3,-6)node {$+$};
\draw [color=C1] (8,-4)node {$+$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\columnbreak
Le déplacement imaginaire du joueur (J) se fait sur le bord de ce rectangle, en partant de (D), dans le sens inverse du sens de rotation des aiguilles d'une montre.

Voici les phrases du message qui permet de repérer le Trésor:
\begin{cadre}[J1][J4]
Entre 0 et 80~pas:\\ ta distance au trésor T diminue.\\
 Puis jusqu'à  160~pas:\\
  ta distance au trésor T augmente. \\
  Ensuite, jusqu'à 180~pas:\\ ta distance au trésor T diminue.\\ Enfin, cette distance augmente.


\end{cadre}


\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Créer le message qui correspond à un Trésor placé en $F$.
\item Créer le message qui correspond à un Trésor placé au milieu de $[FG]$.
\item Retrouver la position du Trésor indiquée grâce au message suivant:
\begin{cadre}[J1][J4]
Ta distance au trésor T
 \begin{colitemize}{2}
\item diminue jusqu'à  40 pas, 
\item augmente jusqu'à  60 pas,
\item diminue jusqu'à  90 pas,
\item augmente jusqu'à  100 pas,
\item diminue jusqu'à  120 pas,
\item augmente jusqu'à  160 pas,
\item diminue jusqu'à  170 pas,
\item augmente jusqu'à  200 pas.
\end{colitemize}
Où est le Trésor?
\end{cadre}

\item Les enfants trouvent que cela fait beaucoup de phrases!\\
Ils décident de mettre en place un codage qui évite de faire autant de phrases.
Voici le codage adopté pour le premier exemple ci-dessus (le Trésor étant situé au milieu de $[EF]$).

\begin{tikzpicture}[general, yscale=0.8]
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.35, color, colorV=J4, colorC=J4, colorL=J4, lw=0.3mm]
%
{ Compteur de pas/ 1, Variations de la distance $JT$ / 2}
{ $0$ ,$80$,$160$,$180$, $200$ }
\tkzTabVar{+/ , -/,+/, -/,+/ }
\draw[fill=B2, opacity=0.4, color=B2, very thin] (T11) rectangle (N22);
\draw[fill=B2, opacity=0.4, color=B2, very thin] (N31) rectangle (N42);
\draw[fill=A2, opacity=0.4, color=A2, very thin] (N22) rectangle (N31);
\draw[fill=A2, opacity=0.4, color=A2, very thin] (N42) rectangle (T21);
\end{tikzpicture}

Proposer, avec ce codage, le message correspondant au second message ci-dessus.
\item Proposer, avec ce codage, le message permettant de trouver le Trésor placé en $G$.
\item En utilisant le message codé ci-dessous, retrouver la position du Trésor.


\begin{tikzpicture}[general, yscale=0.8]
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.35, color, colorV=J4, colorC=J4, colorL=J4, lw=0.3mm]{Compteur de pas/1, Variations de la distance $JT$/2}
{ $0$ ,$30$,$60$,$130$, $200$ }
\tkzTabVar{+/ , -/,+/,-/,+/}
\draw[fill=B2, opacity=0.4, color=B2, very thin] (T11) rectangle (N22);
\draw[fill=B2, opacity=0.4, color=B2, very thin] (N31) rectangle (N42);
\draw[fill=A2, opacity=0.4, color=A2, very thin] (N22) rectangle (N31);
\draw[fill=A2, opacity=0.4, color=A2, very thin] (N42) rectangle (T21);
\end{tikzpicture}

\item Le professeur de mathématiques, qui passe dans la cour, aperçoit les enfants jouant à ce jeu. Après avoir vu le message  ci-dessus, il décide, en lien avec la leçon en cours sur les fonctions, de proposer aux élèves quelques évolutions du message codé et donne en exemple celui de la question 3.
Tout d'abord afin de limiter les écritures, il appelle:
\begin{itemize}
\item $x$ la valeur indiquée par le compteur de pas;
\item $f(x)$ la distance $JT$ correspondant à une valeur de $x$\\ en faisant remarquer que cette distance est fonction de $x$.
\end{itemize}
Ensuite, il propose de compléter le message en portant certaines distances importantes comme ci-dessous (message de la question \textbf{\textcolor{C1}{3}}).\\
Il prétend que ce sera une aide pour trouver le Trésor : est-ce vrai?\\
\vspace{1em}
\begin{tikzpicture}[general, yscale=0.8]
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1.3, color, colorV=J4, colorL=J4, colorC=H4, colorT=H4, lw=0.3mm]
{ $x$ / 1, Variations de $f(x)$ / 2}
{ $0$ ,$40$,$60$,$90$,$100$,$120$,$160$,$170$, $200$ }
\tkzTabVar{+/$50$ , -/$30$,+/$10\sqrt{13}$,-/$20$,+/$10\sqrt{5}$,-/$10$,+/$10\sqrt{10}$,-/$40$,+/$50$}
\end{tikzpicture}

\item 
Recopier, modifier et compléter, en utilisant la méthode du professeur de mathématiques, les deux messages codés des questions 4 et 6.
\end{enumerate}
% 
% \partie[Le jeu de Kiki]
% 
% A SésamathVille, les enfants aiment bien les jeux de réflexion.
% L'un d'eux, Kiki, qui est "chez" les plus jeunes, a apporté un "compteur de pas" dans la cour de l'école. 
% 
% 
% \parbox{0.65\linewidth}{Il en profite pour proposer un jeu qui utilise ce compteur de pas.
% 
% La cour de l'école est rectangulaire, de dimensions : 60 pas en longueur  et 40 pas en largeur. Elle est représentée par le rectangle $DEFG$ schématisé ci-dessous.
% 
% Voici la règle de ce premier jeu: 
% }\hfill
% \parbox{0.3\linewidth}{
% \begin{tikzpicture}[general, scale=0.5]
% %\clip(1,-7) rectangle (10,-1);
% \draw[color=C1,fill=C4, very thick] (2,-6) -- (8,-6) -- (8,-2) -- (2,-2) -- cycle;
% \draw [color=C1] (2,-6)-- (8,-6);
% \draw [color=C1] (8,-6)-- (8,-2);
% \draw [color=C1] (8,-2)-- (2,-2);
% \draw [color=C1] (2,-2)-- (2,-6);
% \fill [color=D1] (2,-6) circle (1.5pt);
% \draw[color=D1] (2,-6) node[below left] {$D$};
% \fill [color=D1] (8,-6) circle (1.5pt);
% \draw[color=D1] (8,-6) node[below right] {$E$};
% \fill [color=D1] (8,-2) circle (1.5pt);
% \draw[color=D1] (8,-2) node[above right] {$F$};
% \fill [color=D1] (2,-2) circle (1.5pt);
% \draw[color=D1] (2,-2) node[above left] {$G$};
% \end{tikzpicture}}
% \begin{itemize}
% \item un point de départ est choisi dans la cour : ce sera D sur le plan
% \item Kiki  choisi secrètement un emplacement sur le bord de la cour.
% \item Il indique ensuite  au joueur  ce que marquera le compteur de pas lorsque l'on marche du départ jusqu'à l'endroit choisi. Le compteur étant remis à zéro au départ.
% \item Le joueur doit retrouver l'endroit sans se déplacer.
% \end{itemize}
% \vspace{-1em}
% \begin{enumerate} 
% \item Si Kiki indique 70 pas, quel endroit de la cour doit désigner le joueur?
% \item Et si Kiki indique 160 pas?
% \item Un joueur mécontent utilise le compteur pour vérifier le nombre de pas qui sont nécessaires pour aller au milieu du côté [GD]. Lorsqu'il arrive, il s'écrie, dépité :"Kiki avait raison!". Quelle indication avait donnée Kiki?
% \end{enumerate}  
% 
% \partie[La recherche du Trésor]
% Mais les élèves se lassent rapidement de ce jeu trop facile. Nini propose alors un nouveau jeu utilisant encore le compteur de pas.
% 
% Nini cache dans la cour rectangulaire de l'école un objet dénommé "Trésor".
% 
% Ensuite, elle donne au joueur, schématisé par le point $J$, un message qui indique comment évolue, en fonction du nombre de pas, la distance du joueur  au trésor lorsque le joueur fait le tour de la cour en restant sur son bord. 
% 
% \vspace{0.5em}
% \parbox{0.67\linewidth}{
% Le départ du voyage imaginaire du joueur se fait toujours en D.
% 
% 
% Le joueur doit alors utiliser ce message pour trouver le Trésor sans se déplacer dans la cour. %Mais il ne peut faire le déplacement dans la cour et doit trouver l'emplacement du trésor T en utilisant seulement ses capacités de réflexion.
% 
% {\bfseries Prenons un exemple}: dans ce cas, T est placé au milieu de [EF]. La situation est schématisée ci-contre.
% 
% Voici les phrases du message que Nini remet au joueur J pour lui permettre de repérer le Trésor:
% }\hfill\parbox{0.3\linewidth}{
% \begin{tikzpicture}[general, scale=0.5]
% %\clip(1,-7) rectangle (10,-1);
% \draw[color=C1,fill=C4, very thick] (2,-6) -- (8,-6) -- (8,-2) -- (2,-2) -- cycle;
% \draw [color=C1] (2,-6)-- (8,-6);
% \draw [color=C1] (8,-6)-- (8,-2);
% \draw [color=C1] (8,-2)-- (2,-2);
% \draw [color=C1] (2,-2)-- (2,-6);
% \draw [color=C1] (3,-6)-- (8,-4);
% \fill [color=D1] (2,-6) circle (1.5pt);
% \draw[color=D1] (2,-6) node[below left] {$D$};
% \fill [color=D1] (8,-6) circle (1.5pt);
% \draw[color=D1] (8,-6) node[below right] {$E$};
% \fill [color=D1] (8,-2) circle (1.5pt);
% \draw[color=D1] (8,-2) node[above right] {$F$};
% \fill [color=D1] (2,-2) circle (1.5pt);
% \draw[color=D1] (2,-2) node[above left] {$G$};
% \fill [color=B1] (3,-6) circle (1.5pt);
% \draw[color=B1] (3,-6) node[above left] {$J$};
% \fill [color=A1] (8,-4) circle (1.5pt);
% \draw[color=A1] (8,-4) node[right] {$T$};
% \end{tikzpicture}}
% \begin{itemize}
% \item jusqu'à ce que ton compteur de pas indique 80 pas , ta distance au trésor T diminue.
% \item ensuite, jusqu'à ce qu'il indique 160 pas , ta distance au trésor T augmente.
% \item puis, jusqu'à ce qu'il indique 180 pas , ta distance au trésor T diminue.
% \item ensuite, cette distance augmente.
% \item où est le Trésor?
% \end{itemize}
% \begin{enumerate}
% \item Crées le message que Nini doit remettre si elle cache le Trésor en F.
% \item Crées le message que Nini doit remettre si elle cache le Trésor au milieu de [FG].
% \item Retrouves la position du Trésor indiquée grâce au message suivant :
% %\begin{enumerate}[label=\alph*)]
% \begin{itemize}
% \item jusqu'à ce que ton compteur de pas indique 40 pas , ta distance au trésor T diminue.
% \item ensuite, jusqu'à ce qu'il indique 60 pas , ta distance au trésor T augmente.
% \item puis, jusqu'à ce qu'il indique 90 pas , ta distance au trésor T diminue.
% \item ensuite, jusqu'à ce qu'il indique 100 pas , ta distance au trésor T augmente.
% \item puis, jusqu'à ce qu'il indique 120 pas , ta distance au trésor T diminue.
% \item ensuite, jusqu'à ce qu'il indique 160 pas , ta distance au trésor T augmente.
% \item puis, jusqu'à ce qu'il indique 170 pas , ta distance au trésor T diminue.
% \item enfin, jusqu'à ce qu'il indique 200 pas , ta distance au trésor T augmente.
% \item où est le Trésor?
% \end{itemize}
% %\end{enumerate}
% \item Les enfants trouvent que cela fait beaucoup de phrases!
% Ils décident de mettre en place un codage qui évite de faire autant de phrases.\\
% Voici le codage adopté pour le premier exemple ci-dessus ($T$ au milieu de $[EF]$).\\
% \begin{tikzpicture}[general, yscale=0.8]
% \tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.35]
% %
% { compteur / 1, Variations de la distance $JT$ / 2}
% { $0$ ,$80$,$160$,$180$, $200$ }
% 
% \tkzTabVar{+/ , -/,+/, -/,+/ }
% 
% \end{tikzpicture}
% 
% Avec ce %tte %nouvelle  méthode de 
% codage, quel est le message correspondant au second message ci-dessus?
% \item Avec ce %tte %nouvelle  méthode de 
% codage, quel est  le message permettant de trouver le Trésor placé en G.
% \item En utilisant le message codé ci-dessous, retrouves la position du Trésor.
% 
% \begin{tikzpicture}[general, yscale=0.8]
% \tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.35]{compteur/1, Variations de la distance $JT$/2}
% { $0$ ,$30$,$60$,$130$, $200$ }
% \tkzTabVar{+/ , -/,+/,-/,+/}
% \end{tikzpicture}
% \item Le professeur de mathématiques, qui passe dans la cour, aperçoit les enfants jouant à ce jeu. Après avoir vu le message  ci-dessus, il décide, en lien avec la leçon en cours sur les fonctions, de proposer aux élèves quelques évolutions du message codé. 
% Tout d'abord afin de limiter les écritures:
% \begin{itemize}
% \item il appelle $x$ la valeur indiquée par le compteur de pas,
% \item et $f(x)$ la distance $JT$ correspondant à une valeur de $x$, en faisant remarquer que cette distance est fonction de $x$.
% \end{itemize}
% Ensuite, il propose de compléter le message en portant certaines distances importantes. Voici ce que devient le message de la question 3):
% 
% \begin{tikzpicture}[general, yscale=0.8]
% \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1.3]
% { $x$ / 1, Variations de $f(x)$ / 2}
% { $0$ ,$40$,$60$,$90$,$100$,$120$,$160$,$170$, $200$ }
% 
% \tkzTabVar{+/$50$ , -/$30$,+/$10\sqrt{13}$,-/$20$,+/$10\sqrt{5}$,-/$10$,+/$10\sqrt{10}$,-/$40$,+/$50$}
% 
% \end{tikzpicture}
% 
% Il prétend que ce sera une aide pour trouver le Trésor : est-ce vrai?
% \item 
% Recopies, modifies et complètes, en utilisant la méthode du professeur de mathématiques, les deux messages codés visibles ci-dessus aux questions 4 et 6.
% \end{enumerate}
\end{activite}

