%TPs découverte et variations 

\begin{TP}[Le long d'un quart de cercle][\tice] 
%\partie{Le long d'un segment}

\partie{Conjecture}  %\vspace{-1.8em}\\
Ouvrir un logiciel de géométrique dynamique.
\begin{enumerate}
\item Placer trois points $A$, $B$ et $C$ tel que $ABC$ soit rectangle isocèle en $A$. Tracer le petit arc de cercle de centre $A$ d'extrémités  $B$ et $C$. Le point $M$ est un point libre sur cet arc. Placer le point $N$, pied de  la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $M$ ainsi que le point $P$,  pied de  la perpendiculaire à $(AC)$ passant par $M$.
\item Conjecturer  la position du point $M$ pour laquelle l'aire du rectangle $ANMP$ est maximale.
\end{enumerate}
\partie{Affinage}
Dans le repère $(A;B,C)$, on note $x$ la longueur $AN$ et $f(x)$ l'aire du rectangle $ANMP$.
	\begin{enumerate}
	\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$?
	\item Sur la figure, créer un point $R$ dont l'abscisse est égale à la longueur $AN$ et dont l'ordonnée est égale à l'aire du rectangle $ANMP$. Sur quel objet géométrique se déplace le point $R$?
	\item Dresser alors le tableau des variations de la fonction $f$ et faire une conjecture en utilisant la précision permise par le logiciel.
	\end{enumerate}
\partie{Démonstration}
\vspace{-0.8em}
	\begin{enumerate}
	\item Exprimer la distance $NM$ en fonction de $x$. En déduire une expression de $f(x)$.
	\item Montrer que $f(x)=\sqrt{x^2(1-x^2)}$. En déduire que $f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{4}-\left(x^2 -\dfrac{1}{2}\right)^2}$.
	\item Expliquer pourquoi $f(x)$ est maximal lorsque $x^2=\dfrac{1}{2}$. En déduire la réponse au problème et comparer avec les conjectures précédentes.
	\end{enumerate}
\end{TP}
