\begin{methode*1}[Obtenir et résoudre une équation-produit \MethodeRefExercice*{2F2_E_equation_produit}]

Pour résoudre une équation plus complexe, on obtient puis résout une équation-produit.
\begin{enumerate}
\item On se ramène à une équation ayant un membre nul.
\item On factorise l'expression littérale.
\item On résout l'équation produit obtenue.
\end{enumerate}

\exercice\label{2F2_M_equation_produit} 

Dans un repère, on représente $f$ définie par  $f(x)=3(x-7)^2-12$ pour $x\in[-6;6]$. 

Combien de fois la courbe coupera-t-elle l'axe des abscisses? 

S'il(s) existe(nt), préciser les coordonnées de ce(s) point(s).

\correction


Les points d'intersection d'une courbe avec l'axe des abscisses sont les points de la courbe d'ordonnée nulle. On note $x$ l'abscisse des points d'intersection. Ce sont donc les antécédents de 0 et il suffit de résoudre l'équation $3(x-7)^2-12=0$ dans $[-6;6]$ pour les trouver.

Lors de la résolution, chaque étape est équivalente à la précédente.
\begin{enumerate}
\item \textit{On obtient et on simplifie une équation ayant un membre nul.}

$3(x-7)^2-12=0$

$(x-7)^2-4=0$

\item \textit{On factorise en reconnaissant l'identité remarquable: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.}

$(x-7)^2-2^2=0$

$(x-7+2)(x-7-2)=0$

$(x-5)(x-9)=0$

\item \textit{On résout l'équation produit obtenu.}

$\begin{array}{rcl}
x-5=0 &\mbox{ ou }&x-9=0\\
x=5 &\mbox{ ou }&x=9\\
 \end{array}
$

\item \textit{On répond au problème posé.}

Cette équation a deux solutions : 5 et 9. 

Or, $9\notin[-6;6]$. La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère  pour $x\in[-6;6]$, coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(5;0)$.

\end{enumerate}


\end{methode*1}

\begin{remarques} 
\begin{itemize}
\item Certaines équations ne se factorisent pas dans $\mathbb{R}$. 
 
Par exemple $x^2+3=0$  n'admet pas de solution réelle.
\item Des logiciels de calculs formels peuvent aider à la résolution d'équation. 
\end{itemize}
\end{remarques}


