\begin{propriete} On considère une population dans laquelle la proportion d'un certain caractère est $p$.

Si la population est suffisamment grande, quand on prélève un échantillon de $n$ individus, on peut considérer que le nombre d'individus ayant le caractère suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

Ainsi, l'intervalle de fluctuation au seuil de \upc{95}
\begin{itemize}
  \item du nombre d'individus ayant le caractère dans l'échantillon est $[a\ ;\ b]$ ;
  \item de la fréquence du caractère dans l'échantillon est $\left[\dfrac{a}{n}\ ;\ \dfrac{b}{n}\right]$.
\end{itemize}


\end{propriete}

\begin{remarques}
\begin{itemize}
  \item Le fait que la population soit suffisamment grande permet d'assimiler le prélèvement d'un échantillon de taille à $n$ à \textcolor{H1}{\bfseries des tirages avec remise} donc indépendants.
  \item Si, après prélèvement de l'échantillon, on observe que  la fréquence est bien dans l'intervalle de fluctuation, on dit que cet échantillon est \textcolor{H1}{\bfseries représentatif} de la population, sinon, on dit qu'il ne l'est pas, au seuil de \upc{95}.
  %\item Contrairement à l'intervalle de fluctuation $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ vu en seconde, avec la loi %binomiale, il n'y a pas de condition particulière sur $p$ et $n$ à respecter.
\end{itemize}
\end{remarques}

\begin{exemple*1}Dans la population française, il y a \nombre{24,4} \% de \og moins de 20 ans \fg{} (source : \emph{ined}).
\begin{enumerate}
  \item On prélève au hasard un échantillon de 250 personnes dans la population française. 
  
  Donner un intervalle de fluctuation au seuil de \upc{95} de la fréquence des \og moins de 20 ans \fg{} dans cet échantillon.
  \item Dans un village de 250 habitants, la proportion de \og moins de 20 ans \fg{} est \nombre{28,5} \%.

  Ce village est-il représentatif de la population française sur ce critère ?
\end{enumerate}


\correction
\begin{enumerate}
  \item Comme la population française est suffisamment grande pour assimiler le prélèvement de cet échantillon à un tirage avec remise, le nombre de \og moins de 20 ans \fg{} dans cet échantillon suit la loi binomiale de paramètres $n=250$ et $\dfrac{24,4}{100}=\nombre{0,244}$ d'après la propriété précédente.
\begin{itemize}
  \item En tabulant cette loi avec la calculatrice, on obtient qu'un intervalle de fluctuation au seuil de \upc{95} du nombre de \og moins de 20 ans \fg{} dans cet échantillon  est $[48\ ;\ 75]$.
  \item Un intervalle de fluctuation au seuil de \upc{95} de la fréquence de \og moins de 20 ans \fg{} dans cet échantillon est donc $\left[\dfrac{48}{250}\ ;\ \dfrac{75}{250}\right]$ soit $[\nombre{0,192}\ ;\ \nombre{0,3}]$.
\end{itemize}
  \item Comme $\dfrac{\nombre{28,5}}{100}=\nombre{0,285}\in [\nombre{0,192}\ ;\ \nombre{0,3}]$, ce village est représentatif de la population française.
\end{enumerate}
\end{exemple*1}

\begin{remarque}Si l'on avait utilisé la formule de l'intervalle de fluctuation vue en seconde, on aurait obtenu  $\left[\nombre{0,0244}-\dfrac{1}{\sqrt{250}}\ ;\ \nombre{0,0244}+\dfrac{1}{\sqrt{250}}\right]$ soit approximativement $[\nombre{0,18}\ ;\ \nombre{0,31}]$.

Ce résultat est  proche de $[\nombre{0,192}\ ;\ \nombre{0,3}]$ obtenu avec la loi binomiale : ce sera toujours le cas dans les conditions d'application de cette formule ($\nombre{0,2}\leqslant p\leqslant \nombre{0,8}$ et $n\geqslant 25$).
\end{remarque}
