\begin{propriete} Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathscr{B}(n\ ;\ p)$. On a :
\begin{center}
$P(X=k)=\covec n k p^k(1-p)^{n-k}$.
\end{center}
\vspace{-0.5\baselineskip}~~
\end{propriete}

 \begin{preuve}Quand on considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, on trouve sur chaque chemin qui correspond à $k$ succès :
  \begin{colitemize}{2}
    \item la probabilité $p$ sur $k$ branches
    \item la probabilité $1-p$ sur $n-k$ branches
  \end{colitemize}
donc la probabilité correspondant à chacun de ces chemins est $p^k\times(1-p)^{n-k}$.

 Comme il y $ \covec n k$ chemins, on a $P(X=k)=\covec n k p^k(1-p)^{n-k}$.
\end{preuve}

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\begin{exemple*1}Soit $X$ suivant la loi $\mathscr{B}(4\ ;\ \nombre{0,3})$.

On a $P(X=3)=\covec{4}{3}\nombre{0,3}^3(1-\nombre{0,3})^{4-3}=4\times \nombre{0,3}^3\times \nombre{0,7}=0,0756$.

\end{exemple*1}
