\begin{propriete} Soit $n$ et $k$ des entiers naturels avec $0\leqslant k\leqslant n-1$.
\begin{colitemize}{2}
	\item $\covec n 0 =1$ et $\covec n n=1$
	\item $\covec n k +\covec n {k+1} =\covec{n+1}{k+1}$
    \item $\covec n k =\covec{n}{n-k}$
\end{colitemize}
\end{propriete}
\begin{preuve} Pour le dernier point, $\covec{n+1}{k+1}$ est le nombre de chemins correspondant à $k+1$ succès dans un arbre représentant un schéma de Bernoulli de $n+1$ épreuves.
\begin{itemize}
\item Si la première épreuve donne un succès, il faut alors encore $k$
  succès sur les $n$ épreuves restantes, ce qui donne donc
  $\covec{n}{k}$ chemins.
\item Si la première épreuve donne un échec, il faut alors encore
  $k+1$ succès sur les $n$ épreuves restantes, ce qui donne donc
  $\covec{n}{k+1}$ chemins.
\end{itemize}

Il y a donc bien $\covec{n}{k}+\covec{n}{k+1}$ chemins qui correspondent à $k+1$ succès pour $n+1$ épreuves.

\end{preuve}

\begin{remarque} Le tableau suivant donnant tous les coefficients binomiaux est appelé \og \MotDefinition[Triangle de Pascal]{Triangle de Pascal}[Triangle de Pascal]{} \fg{}.
 %Cette égalité se traduit par une triangle, dit de Pascal, qui permet de retrouver tous les coefficients binomiaux d'une ligne à l'autre.	
\vspace{-0.8\baselineskip}\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{0.8}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}	
	\hline
	\backslashbox{$n$}{$k$}&0&1&2&3&4&5&\ldots\\
	\hline
	0&1&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}\\
	\hline
	1&1&1&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}\\
	\hline
	2&1&2&1&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}\\	
		\hline
	3&1&3&3&1&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}\\
		\hline
	4&1&4&\textcolor{H1}{6}&\textcolor{H1}{4}&1&\cellcolor{A3}&\cellcolor{A3}\\
		\hline
	5&1& 5&10&\textcolor{H1}{10}&5&1&\cellcolor{A3}\\
		\hline
	\ldots&&&&&&&\\
	\hline
	\end{tabular}}
\end{center}
\vspace{-\baselineskip}\begin{itemize}
  \item Comme $\covec n 0 =1$ et $\covec n n=1$, il y  a des 1 dans la première colonne et la diagonale.
  \item Comme $\covec n k +\covec n {k+1} =\covec{n+1}{k+1}$, on peut remplir chaque ligne à partir de la précédente, par exemple, on a $\covec 4 2 +\covec 4 3 =\covec 5 3$ d'où $\green{6}\black{~+~}\green{4}\black{~=~}\green{10}$.
  \item On  observe sur ce triangle que $\covec{n}{1}=n$.
\end{itemize}
\end{remarque}
