\begin{activite}[Passe la seconde !]
On considère une population dans laquelle un certain caractère a une proportion $p$.

 Dans ce TP, nous allons comparer des intervalles de fluctuation au seuil de \upc{95}, sur la fréquence du caractère dans un échantillon de taille $n$, obtenus par différentes méthodes.


On rappelle la formule $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ donnant l'intervalle de fluctuation de la fréquence au seuil de \upc{95} vu en seconde, utilisable quand $p\in[\nombre{0,2}\ ;\ \nombre{0,8}]$ et $n\geqslant 25$. 

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\begin{enumerate}
    \item Déterminer les intervalles de fluctuation de la fréquence au seuil de 95 \% obtenus respectivement avec la loi binomiale et avec la formule précédente pour $n=30$ et $p=\nombre{0,2}$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Donner un avantage et un inconvénient de l'intervalle de fluctuation vu en seconde (on pensera notamment aux conditions à vérifier pour pouvoir l'appliquer).
          \item Même question pour l'intervalle de fluctuation obtenu avec la loi binomiale.
        \end{enumerate}
  \item Matthieu souhaite savoir, suivant les valeurs de $n$ et $p$, si les deux intervalles de fluctuation sont \og proches \fg{} ou non.


  Il détermine alors les intervalles de fluctuation obtenus avec les deux méthodes et réalise le tableau à double-entrée ci-dessous où :
  \begin{itemize}
    \item S signifie \og satisfaisant \fg{} c'est-à-dire qu'il estime que les deux intervalles sont assez proches  car l'écart sur les bornes inférieures (respectivement supérieures) des deux intervalles est inférieur à \nombre{0,02} ;
    \item I signifie \og insatisfaisant \fg{} c'est-à-dire qu'il estime que les deux intervalles ne sont pas assez proches (avec le même critère).
  \end{itemize}

  \vspace{.25\baselineskip}

  \begin{cltableau}{\linewidth}{12}\hline
  \diagbox[dir=NW]{$n$}{$p$}  &\nombre{0,05}& \nombre{0,1} & \nombre{0,2}& \nombre{0,3} & \nombre{0,4}& \nombre{0,5}&\nombre{0,6}& \nombre{0,7}& \nombre{0,8}& \nombre{0,9}& \nombre{0,95}\\\hline
    30&  I & I & I & S&S &S &S &S &I &I &I\\\hline
    100& I & I &S & S &S &S &S &S &S &I &I \\\hline
    1000& S & S &S & S &S &S & S& S& S& S&S \\\hline
  \end{cltableau}

  \vspace{-\baselineskip}
  \begin{enumerate}
    \item Comparer les intervalles obtenus à la question \textbf{1)} et expliquer le choix de Matthieu.
    \item Même question pour $n=\nombre{1000}$ et $p=\nombre{0,05}$.
    \item D'après le tableau ci-dessus, quels types de valeurs de $n$ et $p$ faudrait-il éviter pour pouvoir utiliser l'intervalle
    $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ sans avoir une erreur trop importante ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{activite}
