\begin{activite}[Bien réussir  un QCM][\tice]

  Dolorès  s'est inscrite à un concours pour entrer en école d'ingénieur.

  Celui-ci se présente sous la forme d'un QCM où, pour chaque question, il faut dire laquelle des quatre propositions est vraie.

  \begin{partie}[Hors programme]


    Comme le concours a lieu en cours d'année, quatre questions portent sur des parties du programme qu'elle n'a pas vues en classe, elle décide donc d'y répondre au hasard.

    Pour chaque question, on appelle :
    \begin{colitemize}{2}
    \item $C$ l'événement : \og la réponse est correcte \fg{}
    \item $I$ l'événement : \og la réponse est incorrecte \fg{}
    \end{colitemize}

    Dans toute l'activité, les probabilités seront données \textbf{sous forme décimale, arrondies à \nombre{0,0001} près.}
    \begin{enumerate}
    \item On a représenté la situation par un arbre pondéré.

      \vspace{-1.5\baselineskip}\begin{center}
        % \psset{unit=0.2cm}
        \pstree[linecolor=A1,treemode=R]{\TR{}}
        {
          \pstree{\TR{$C$}\taput{0,25}}
	  {
            \pstree{\TR{$C$}\taput{0,25}}
            {
              \pstree{\TR{$C$}\taput{0,25}}
              {
                \TR{$C$}\taput{0,25}
                \TR{$I$}\tbput{0,75}	
              }
              \pstree{\TR{$I$}\tbput{0,75}}
              {
                \TR{$C$}\taput{0,25}
                \TR{$I$}\tbput{0,75}
              }
            }
            \pstree{\TR{$I$}\tbput{0,75}}
            {
              \pstree{\TR{$C$}\taput{0,25}}
              {
                \TR{$C$}\taput{0,25}
                \TR{$I$}\tbput{0,75}
              }
              \pstree{\TR{$I$}\tbput{0,75}}
              {
                \TR{$C$}\taput{0,25}
                \TR{$I$}\tbput{0,75}	
              }
            }	
	  }
          \pstree{\TR{$I$}\tbput{0,75}}
	  {
            \pstree{\TR{$C$}\taput{0,25}}
            {
              \pstree{\TR{$C$}\taput{0,25}}
              {
                \TR{$C$}\taput{0,25}
                \TR{$I$}\tbput{0,75}	
              }
              \pstree{\TR{$I$}\tbput{0,75}}
              {
                \TR{$C$}\taput{0,25}
                \TR{$I$}\tbput{0,75}
              }
            }
            \pstree{\TR{$I$}\tbput{0,75}}
            {
              \pstree{\TR{$C$}\taput{0,25}}
              {
                \TR{$C$}\taput{0,25}
                \TR{$I$}\tbput{0,75}
              }
              \pstree{\TR{$I$}\tbput{0,75}}
              {
                \TR{$C$}\taput{0,25}
                \TR{$I$}\tbput{0,75}	
              }
            }	
	  }
        }
      \end{center}

      Expliquer les pondérations $\nombre{0,25}$ et $\nombre{0,75}$.
    \item \begin{enumerate}
      \item Combien y a-t-il de chemins correspondant à trois réponses correctes ?
      \item Dans chacun de ces chemins, combien y a-t-il de pondérations $\nombre{0,25}$ et $\nombre{0,75}$ ?
      \item En déduire la probabilité que Dolorès ait exactement trois réponses correctes.
      \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
      \item Sans regarder l'arbre, dire combien il y a de pondérations $\nombre{0,25}$ et $\nombre{0,75}$ dans un chemin correspondant à deux réponses correctes.
      \item On peut obtenir le nombre de chemins correspondant à deux réponses correctes (dans cette expérience à quatre étapes) avec la calculatrice, sans regarder l'arbre.

        Pour cela, on saisit :
        \vspace{-\baselineskip}\begin{multicols}{2}
          \textcolor{H1}{\bfseries Calculatrice TI}


          \includegraphics[height=0.25cm]
          {\pathmanuel/images/ti_combi.eps}

          où \verb"combinaison" s'obtient en :
          \begin{itemize}
          \item appuyant sur la touche \includegraphics[height=0.4cm]
            {\pathmanuel/images/ti_math.eps}
          \item choisissant \textbf{PRB}
          \item choisissant \textbf{3:Combinaison}
          \end{itemize}

          \textcolor{H1}{\bfseries Calculatrice CASIO}


          \includegraphics[height=0.25cm]
          {\pathmanuel/images/casio_combi.eps}

          où \verb"C" s'obtient en :
          \begin{itemize}
          \item appuyant sur la touche \includegraphics[height=0.4cm]
            {\pathmanuel/images/optn.eps}
          \item choisissant \includegraphics[height=0.25cm]
            {\pathmanuel/images/fleche.eps} puis \includegraphics[height=0.25cm]
            {\pathmanuel/images/casio_prob.eps}
          \item choisissant \includegraphics[height=0.25cm]
            {\pathmanuel/images/casioc.eps}
          \end{itemize}
        \end{multicols}

        Vérifier le résultat obtenu sur l'arbre.
      \item En déduire la probabilité que Dolorès ait exactement deux réponses correctes.
      \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
      \item \`A l'aide de la calculatrice, donner le nombre de chemins correspondant à exactement une réponse correcte.
      \item Combien y a-t-il de pondérations $\nombre{0,25}$ et $\nombre{0,75}$ sur chacun de ces chemins ?
      \item En déduire la probabilité que Dolorès ait exactement une réponse correcte.
      \end{enumerate}
    \item Déterminer la probabilité que Dolorès ait exactement :
      \begin{itemize}
      \item 0 réponse correcte
      \item 4 réponses correctes
      \end{itemize}
    \item Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de réponses correctes à ces quatre questions.

      \begin{center}
        \begin{tableau}[C]{0.7\linewidth}{9}{>{\centering}m{1.5cm}}\hline
          $k$ & 0& 1& 2 &3&4 \\\hline
          $P(X=k)$ & & &  && \\\hline
        \end{tableau}
      \end{center}


    \end{enumerate}

  \end{partie}


  \begin{partie}[Avec six questions]
    \vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
    \item En lisant le reste des questions, Dolorès s'aperçoit qu'il y en a deux autres dont elle ne connaît pas la réponse (c'est-à-dire six en tout).

      Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ donnant le nombre de réponses correctes si elle décide de répondre au hasard à ces six questions.
    \item La règle dans ce QCM est :
      \begin{itemize}
      \item chaque réponse correcte rapporte 1 point ;
      \item chaque réponse incorrecte enlève \nombre{0,5} point ;
      \item une absence de réponse n'ajoute et n'enlève aucun point.
      \end{itemize}

      \vspace{-\baselineskip}
      \begin{enumerate}
      \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z$ donnant le gain algébrique de points pour ces six questions.
      \item En déduire le nombre de points que Dolorès peut \og espérer gagner \fg{}.
      \item Sachant que Dolorès est certaine d'avoir répondu correctement aux quatorze autres questions, doit-elle plutôt faire le choix de ne pas répondre à ces six questions ? Argumenter.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{partie}
\end{activite}
