\begin{TP}[\`A l' unilatéral][\tice]

En France, en \nombre{2006}, on estimait à \upc{6,7} le pourcentage de la population souffrant d'asthme (c'est-à-dire ayant eu une crise d'asthme lors de l'année écoulée) (source : \emph{irdes}).


On considère le quart sud-ouest de la France regroupant les régions Aquitaine, Limousin et Midi-Pyrénées, comptant \nombre{6,7} millions d'habitants.
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Avec la calculatrice, calculer $P(Y=0)$ où $Y$ suit la loi $\mathscr{B}(\nombre{6700000}\ ;\ \nombre{0,067})$.
          \item Que se passe-t-il ? Expliquer pourquoi.
        \end{enumerate}
  \item On décide de travailler sur des milliers d'habitants en considérant la variable aléatoire $X$ suivant la loi $\mathscr{B}(\nombre{6700}\ ;\ \nombre{0,067})$ pour laquelle on a :

       \begin{tableau}[C]{\linewidth}{10}{>{\centering}m{2cm}}\hline
  $P(X\leqslant k)$ &\ldots& \nombre{408} & \nombre{409}& \nombre{410} & \ldots& \nombre{487}&\nombre{488}& \nombre{489}& \ldots\\\hline
    $k$  &\ldots& \nombre{0,023} & \nombre{0,026}& \nombre{0,029} & \ldots& \nombre{0,969}&\nombre{0,972}& \nombre{0,9752}& \ldots\\\hline
  \end{tableau}

  Donner un intervalle de fluctuation au seuil de \upc{95} sur la fréquence de personnes asthmatiques parmi les habitants du quart sud-ouest (arrondir à \nombre{0,001} près).
  \item Dans le quart sud-ouest, le pourcentage de personnes asthmatiques est de \upc{7,8}.

  Expliquer pourquoi l'on peut dire que le quart sud-ouest n'est pas représentatif sur ce critère, au risque d'erreur de \upc{5}.
  \item \begin{enumerate}
          \item Déterminer $P\left(\dfrac{X}{\nombre{6700}}\in[0\ ;\ \nombre{0,073}]\right)$.\smallskip

          On dit que $[0\ ;\ \nombre{0,073}]$ est un \textbf{intervalle de fluctuation unilatéral à droite} au seuil de~\upc{97,5}.
          \item Quelle phrase vous semble la plus précise ?
  \begin{itemize}
    \item Les habitants du quart sud-ouest sont plus sujets à l'asthme, au risque d'erreur de \upc{5}.
    \item Les habitants du quart sud-ouest sont plus sujets à l'asthme, au risque d'erreur de~\upc{2,5}.
  \end{itemize}
        \end{enumerate}
  \item En tabulant $P(X\leqslant k)$ à partir de $k=482$ avec la calculatrice ou le tableur, déterminer :
  \begin{itemize}
    \item un intervalle de fluctuation unilatéral à droite au seuil de \upc{95}
    \item un intervalle de fluctuation unilatéral à droite au seuil de \upc{99}
  \end{itemize}
  %Paris \upc{6,4} pour \nombre{2,2} millions d'habitants.
\end{enumerate}
\end{TP}

\vspace{-\baselineskip}

\begin{TP}[Loi géométrique tronquée][\tice\algo]

Klaus et Antoine jouent à un jeu de société.

Klaus est arrivé sur la dernière case du jeu avec 4 vies, il doit alors lancer le dé (à 6 faces) et :
\begin{itemize}
  \item s'il obtient 6, il gagne la partie
  \item s'il n'obtient pas 6, il perd une vie et relance le dé
  \item s'il épuise ainsi ses 4 vies, il perd la partie
\end{itemize}
\vspace{-1\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Représenter la situation par un arbre pondéré.
  \item Quelle est la probabilité que Klaus :
  \begin{colitemize}{2}
    \item gagne la partie à son troisième lancer ?
    \item perde la partie ?
  \end{colitemize}
  \item On considère la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de lancers que fait Klaus pour gagner (par convention, même si cela ne paraît pas très naturel, s'il perd toutes ses vies sans faire 6, on considère que $X=0$).

 Donner la loi de probabilité de $X$ (on donnera les résultats sous forme de fraction).

  \item Klaus a écrit l'algorithme suivant sous Algobox, simulant la variable aléatoire $X$ :

\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{multicols}{2}
\begin{verbatim}
1 VARIABLES
2  k EST_DU_TYPE NOMBRE
3  V EST_DU_TYPE NOMBRE
4  Vdepart EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME
6  LIRE Vdepart
7  V PREND_LA_VALEUR Vdepart
8  k PREND_LA_VALEUR 0
9   TANT_QUE(V... ET k...)FAIRE
10   DEBUT_TANT_QUE
11   V PREND_LA_VALEUR V-1
12   k PREND_LA_VALEUR ALGOBOX_ALEA_ENT(1,6)
13   FIN_TANT_QUE
14  SI (V==0 ET k!=6) ALORS
15   DEBUT_SI
16   AFFICHER "X=0"
17   FIN_SI
18   SINON
19    DEBUT_SINON
20    AFFICHER "X="
21    AFFICHERCALCUL Vdepart-V
22    FIN_SINON
23 FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{multicols}
\vspace{-0.7\baselineskip}où \verb"Vdepart" correspond au nombre de vies de Klaus quand il arrive sur la dernière case.\smallskip


  Compléter les pointillés pour que cet algorithme fonctionne.
\end{enumerate}

\vspace{-2\baselineskip}
\end{TP}