\begin{TP}[Vive le vent, vive le vent][\tice]



Pour réaliser une enquête commerciale, un employé consacre chaque jour \umin{5} de son temps à interroger des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante.

Il se demande si trois personnes au moins accepteront de répondre.


\partie{\upc{10} de \og bavards \fg{} et 20 personnes interrogées}



  Dans cette partie, on suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1.

  L'employé interroge 20 personnes de manière indépendante.
  \begin{enumerate}
    \item  On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes acceptant de répondre sur les 20 personnes interrogées.

     Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale puis donner ses paramètres.
    \item On considère les événements :
  \begin{itemize}
    \item $A$ : \og Au moins une personne accepte de répondre \fg
    \item $B$ : \og Moins de trois personnes acceptent de répondre \fg
    \item $C$ : \og Trois personnes ou plus acceptent de répondre \fg
  \end{itemize}

Déterminer à l'aide de la calculatrice les probabilités des événements $A$, $B$ et $C$. On arrondira au millième.
  \end{enumerate}



\partie{\upc{10} de \og bavards \fg{} et $n$ personnes interrogées}

On considère maintenant que l'employé interroge indépendamment $n$ personnes, toujours en supposant que la probabilité qu'une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1.
\begin{enumerate}
    \item Quelle loi suit la variable aléatoire $Y$ donnant le nombre de personnes acceptant de lui répondre sur les $n$ personnes interrogées ?
	\item On décide d'utiliser le tableur pour pouvoir tester plus facilement différentes valeurs de $n$.
        \begin{enumerate}
            \item Lancer un logiciel de tableur.
	        \item Reproduire la feuille de calcul ci-dessous.
                    \begin{center}
                    \renewcommand{\arraystretch}{0.9}
                    \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.9}}c|*{1}{p{1cm}|}*{1}{p{1.2cm}|}*{2}{p{1cm}|}*{1}{p{2cm}|}*{1}{p{0.5cm}|}}\hline
                    \rowcolor[gray]{0.9}	&~~\hfill A\hfill~~&~~\hfill B\hfill~~&	~~\hfill C\hfill~~&~~\hfill D\hfill~~&~~\hfill E\hfill~~&	~~\hfill F\hfill~~\\ \hline
                    1  & $k$ & P(Y=k)& & & Valeur de n : & 50\\\hline
                    2  & 0 & & & & Valeur de p : & \nombre{0,1}\\\hline
                    3  & 1 & & & &  & \\\hline
                    4  & 2 & & & &  & \\\hline
                    5  & 3 & & & &  & \\\hline
                    6  & 4 & & & &  & \\\hline
                    \end{tabular}
                    \end{center}
	       \item Entrer dans la cellule \verb"B2" la formule :
                \begin{itemize}
                    \item \verb"=LOI.BINOMIALE.N(A2;F$1;F$2;0)" sous excel
                    \item \verb"=LOI.BINOMIALE(A2;F$1;F$2;0)" sous openoffice ou libreoffice
                \end{itemize}
             puis compléter la colonne \verb"B" par recopie vers le bas.	
	       \item Déterminer dans la feuille de tableur la probabilité qu'au moins 3 personnes acceptent de répondre.
	       \item Déterminer le nombre minimal de personnes que l'enquêteur va devoir interroger pour que la probabilité qu'au moins 3 personnes acceptent de répondre dépasse $\nombre{0,5}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{Avec 10 personnes et $p$ inconnues}

On considère maintenant que l'employé ne pourra aborder que 10 personnes dans la journée et que la probabilité $p$ qu'une personne choisie au hasard accepte de répondre est inconnue.
\begin{enumerate}
 \item Quelle loi suit la variable aléatoire $Z$ donnant le nombre de personnes acceptant de lui répondre sur les $10$ personnes interrogées ?
	\item Reproduire la feuille de calcul ci-dessous.

\vspace{-.5\baselineskip}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{0.9}
\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.9}}c|*{1}{p{1cm}|}*{2}{p{1.5cm}|}}\hline
\rowcolor[gray]{0.9}	&~~\hfill A\hfill~~&~~\hfill B\hfill~~&	~~\hfill C\hfill\\ \hline
1  & p & P(Z<=2)& P(Z>=3) \\\hline
2  & 0 &  & \\\hline
3  & \nombre{0,1} &  & \\\hline
4  & \nombre{0,2} & & \\\hline
5  & \nombre{0,3} &  & \\\hline
6  & \nombre{0,4} &  & \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
	
\vspace{-.5\baselineskip}
	\item On obtient la valeur $P(X\leqslant k)$ pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ avec la fonction :
\begin{itemize}
  \item \verb"=LOI.BINOMIALE.N(k;n;p;1)" sous excel
  \item \verb"=LOI.BINOMIALE(k;n;p;1)" sous open office ou libreoffice
\end{itemize}
En utilisant cette fonction, compléter la colonne \verb"B" puis la colonne \verb"C".
	\item Quelle doit-être la valeur minimale de $p$ pour que la probabilité qu'au moins trois personnes acceptent de répondre dépasse \nombre{0,5} ? On donnera une valeur approchée de $p$ au dixième.
	\item Reprendre la question précédente avec une valeur approchée de $p$ au millième.
	
\end{enumerate}
\end{TP}
