\begin{methode}[Appliquer une transformation affine\MethodeRefExercice*{exo51-SP2}]
\exercice
\label{methode4SP2}

Un coiffeur se d\'{e}place \`{a} domicile. 

On note $X$ le nombre de rendez-vous sur une journ\'{e}e.

La loi de probabilit\'{e} de $X$ est donn\'{e}e par le tableau
ci-dessous.

\begin{center}
  \begin{tabularx}{\linewidth}{|*7{>{\centering}X|}}
    \hline
    \cellcolor{FondTableaux}${x_i}$ & 0    & 1    & 2    & 3    & 4    & 5    \tabularnewline    \hline
    \cellcolor{FondTableaux}${p_i}$ & 0,03 & 0,09 & 0,15 & 0,38 & 0,18 & 0,17 \tabularnewline    \hline
  \end{tabularx}
\end{center}

Chaque rendez-vous lui rapporte 30 euros, et ses frais de
fonctionnement quotidiens s'\'{e}l\`{e}vent \`{a} 15 euros. 

On note $Y$ son gain journalier.
\begin{enumerate}
\item Calculer $E$($X$).
\item Quelle relation lie $X$ et $Y$ ?
\item En d\'{e}duire $E(Y$).
\end{enumerate}

\correction

\begin{enumerate}
\item $
  \begin{aligned}[t]
    E\left( X \right) &= 0,03 \times 0 + 0,09 \times 1 + 0,15 \times 2 + 0,38 \times 3 + 0,18\\
    &  \phantom{0,03 \times 0 + 0,09 \times 1 + 0,15 \times 2 + 0,38} \times 4 + 0,17 \times 5\\
    E\left( X \right) & = 3,1.
  \end{aligned}
$

\item Le gain journalier $Y$ est tel que $Y = 30X - 15$. 

\item $
  \begin{aligned}[t]
    E\left( Y \right) &= E\left( {30X - 15} \right)\\
    & = 30E\left( X \right) - 15\\
    & = 30 \times 3,1 - 15 \\
    & = 93 - 15\\
    E\left( Y \right) & = 78 \text{ (en euros).}
  \end{aligned}
  $

  Ainsi, le coiffeur peut espérer gagner 78 euros en moyenne par jour.
\end{enumerate}
\end{methode}
