\section{Esp\'{e}rance, variance et \'{e}cart-type}
 
\begin{definitions}
  Soit $X$ une variable al\'{e}atoire prenant les valeurs
  ${x_1};{x_2};...;{x_n}$ avec les probabilit\'{e}s
  ${p_1};{p_2};...;{p_n}$.
  \begin{itemize}
  \item On appelle \MotDefinition[Espérance (d'une variable aléatoire)]{esp\'erance}{} de $X$ le nombre: $E\left( X
    \right) = {p_1}{x_1} + {p_2}{x_2} + ... + {p_n}{x_n} =
    \sum\limits_{i = 1}^{i = n} {{p_i}{x_i}}$.

  \item On appelle \MotDefinition[Variance (d'une variable aléatoire)]{variance}{} de $X$ le nombre:

    $
    \begin{aligned}[t]
      V\left( X \right) &= p_1 \left(x_1 - E\left(X\right) \right)^2 +
      p_2\left(x_2 - E\left(X\right) \right)^2 + ... + p_n \left(x_n -
        E\left(X\right)\right)^2 \\
      &= \sum\limits_{i = 1}^{i = n} p_i\left(x_i -
        E\left(X\right)\right)^2.
    \end{aligned}
    $

  \item On appelle \MotDefinition[Écart-type (d'une variable aléatoire)]{écart-type}{} de $X$ le nombre $\sigma \left(
      X \right) = \sqrt {V\left( X \right)}$.
  \end{itemize}
\end{definitions}

\begin{remarques}
  \begin{itemize}
  \item Le mot «esp\'{e}rance» vient du langage des jeux : lorsque $X$
    d\'{e}signe le gain, $E(X)$ est le gain moyen que peut
    esp\'{e}rer un joueur sur un grand nombre de parties.

  \item Une autre formule de la variance est $V\left( X \right) =
    \sum\limits_{i = 1}^{i = n} {{p_i}{x_i}^2 - {{\left[ {E\left( X
              \right)} \right]}^2}} $ (voir exercice~\RefExercice{exoKonig-SP2},
    p.~\pageref{exoKonig-SP2}).

  \end{itemize}
\end{remarques}

\vspace{-5mm}

\begin{vocabulaire}
  Un jeu est \textbf{\textcolor{H1}{\'{e}quitable}} lorsque l'esp\'{e}rance du gain
  est nulle.
\end{vocabulaire}
