\begin{exercice}[Optimisation (d'apr\`{e}s Bac)]

  Une urne contient 50 jetons de couleurs bleue, rouge ou
  jaune. 10~\% des jetons sont bleus, il y a trois fois plus de jetons
  jaunes que de jetons bleus.  Un joueur tire un jeton au hasard.
  \begin{itemize}
  \item S'il est rouge, il remporte le gain de base.
  \item S'il est jaune, il remporte le carr\'{e} du gain de base.
  \item S'il est bleu, il perd le cube du gain de base.
  \end{itemize}

  On note $X$ le gain \`{a} ce jeu.
  \begin{enumerate}
  \item On suppose que le gain de base est 2 euros.
    \begin{enumerate}
    \item D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $X$.
    \item Calculer le gain moyen que l'on peut esp\'{e}rer
      r\'{e}aliser sur un grand nombre de tirages.
    \end{enumerate}
  \item On cherche \`{a} d\'{e}terminer la valeur~du gain de
    base ${g_0}$, telle que le gain moyen r\'{e}alis\'{e} sur un grand
    nombre de tirages soit maximal. Le r\'{e}sultat sera arrondi au
    centime d'euro.
        Soit~$x$~le gain de base en euros.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que le probl\`{e}me pos\'{e} revient \`{a}
      \'{e}tudier les \'{e}ventuels extremums de la fonction~$f$
      d\'{e}finie sur $\left[ {0\ ;\ + \infty } \right[$ par $f\left( x
      \right) = - 0,1{x^3} + 0,3{x^2} + 0,6x$.

    \item \'{E}tudier le sens de variation de~$f$~sur l'intervalle
      $\left[ {0\ ;\  + \infty } \right[$.

    \item Conclure.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}
