\begin{exercice}[Formule de K\"{o}nig]
\label{exoKonig-SP2}
  Soit $X$ une variable al\'{e}atoire prenant les valeurs
  ${x_1},{x_2},\ ...,{x_n}$ avec les probabilit\'{e}s ${p_1},{p_2},\
  ..., {p_n}$. 

On rappelle que : 

$E\left( X \right) = \sum\limits_{i =
    1}^{i = n} {{p_i}{x_i}} $ et $V\left( X \right) = \sum\limits_{i =
    1}^{i = n} {{p_i}{{\left( {{x_i} - E\left( X \right)}
        \right)}^2}}$.
  \begin{enumerate}
  \item D\'{e}montrer que~$V\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^{i
      = n} {{p_i}{x_i}^2 - {{\left( {E\left( X \right)} \right)}^2}}$.\label{konig1}

  \item On donne la loi de probabilit\'{e} d'une variable
    al\'{e}atoire~$X$.

    Calculer $V(X)$ avec la formule trouv\'{e}e au \textbf{\ref{konig1})}.

    {\centering
      \begin{tabular}{|*5{c|}}
        \hline
        \cellcolor{FondTableaux}${x_i}$ & 1   & 2   & 3   & 4   \\      \hline
        \cellcolor{FondTableaux}${p_i}$ & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 \\      \hline
      \end{tabular}
      \par}
      \end{enumerate}
\end{exercice}
