\begin{activite}[Jeu concours]

  Pendant une \'{e}mission musicale de t\'{e}l\'{e}vision, le jeu
  concours suivant appara\^{\i}t \`{a} l'\'{e}cran.

  \begin{cadre}[H1][H3]
    \centering\Large\textcolor{J1}{\textsf{Jeu SMS}}

    \raggedright\normalsize

    Quel musicien faisait partie du groupe des «Beatles» ?

    \textbf{1.} Bono\quad \textbf{2.} John Lennon

    Envoyez 1 ou 2 par SMS au 71028 et d\'{e}couvrez
    imm\'{e}diatement si vous avez gagn\'{e} :
    \begin{itemize}
    \item 3 voyages d'une semaine \`{a} Liverpool (valeur unitaire
      \nombre{2000}~\euro{})
    \item 10 albums «Sergent Pepper» (valeur unitaire 20~\euro{})
    \item 100 tee-shirts (valeur unitaire 10~\euro{})
    \end{itemize}

    Co\^{u}t du SMS : 0,25~\euro.  Tirage au sort parmi les bonnes
    r\'{e}ponses.
  \end{cadre}

  On consid\`{e}re qu'il y a eu \nombre{100000} participants qui ont
  tous donn\'{e} la bonne r\'{e}ponse.

  On note $X$ la variable al\'{e}atoire qui donne la valeur du gain
  alg\'{e}brique (diff\'{e}rence entre la valeur du cadeau et le
  co\^{u}t du SMS) obtenu par un participant.
  \begin{enumerate}
  \item D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $X$ et calculer son
    esp\'{e}rance.

  \item Quel co\^{u}t aurait-on d\^{u} fixer par SMS pour que
    l'esp\'{e}rance soit nulle ? (On parle alors de jeu \'{e}quitable.)
  \end{enumerate}
\end{activite}
