\begin{exercice}[Droite des moindres carrés][\tice] 
Lors d'un TP de SVT, on souhaite mettre en évidence une relation entre la fréquence cardiaque (FC) d'un individu, exprimée en pulsations par minute, et son volume de dioxygène consommé par minute ($V$O$_2$), exprimé en litres par minute.

Pour cela, chaque élève réalise une série de quatre mesures après différents efforts plus ou moins intenses.\columnbreak

Michel obtient les résultats suivants :

 \begin{center}
  \begin{tableau}[c]{\linewidth}{5}\hline
 FC   & \nombre{59} & \nombre{83} & \nombre{105} & \nombre{132} \\\hline
 VO$_2$   & \nombre{0,56} & \nombre{1,02} & \nombre{2,12} & \nombre{2,43} \\\hline
  \end{tableau}
  \end{center}

  On note $x_1=59$ ; $x_2=83$ ; etc. et $y_1=\nombre{0,56}$ ; $y_2=\nombre{1,02}$ ; etc.
  \begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
            \item Placer, pour $i$ allant de 1 à 4, les points de
              coordonnées $(x_i\ ;\ y_i)$ dans un repère. On prendra :
             \begin{itemize}
               \item \ucm{1} pour 10 pulsations par minute en abscisse, en commençant à graduer à 50 ;
               \item \ucm{1} pour 0,4 litre par minute en ordonnée.
             \end{itemize}
            \item Tracer grossièrement une droite (d'équation           
            
            $y=ax+b$) approximant les points.
            
            Pour chacun des points de coordonnées $(x_i\ ;\ y_i)$, matérialiser par des segments verticaux la distance $|y_i-(ax_i+b)|$ .\smallskip
          \end{enumerate}


          Le but de l'exercice est de déterminer l'équation de la meilleure droite d'\og approximation \fg{} possible, appelée  droite des moindres carrés.

           C'est la droite d'équation $y=ax+b$ pour laquelle $D=\displaystyle \sum_{i=1}^4 |y_i-(ax_i+b)|^2=\sum_{i=1}^4 (y_i-(ax_i+b))^2$ est minimale.
    \item Exprimer $D$ en fonction de $a$ et $b$ (on ne cherchera pas à développer).
    \item \`A l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient que 
      $D=38819a^2+758ab-1322,12a+4b^2-12,26b$

      \hfill$+11,7533$.
    \begin{enumerate}
      \item On considère la fonction $f$ telle que $f(a)=D$.

      Montrer que $f$ atteint son minimum quand :
      \begin{center}
      $77638a=-758b+\nombre{1322,12}.$
      \end{center}
      \item On considère la fonction $g$ telle que $g(b)=D$.

      Montrer que $g$ atteint son minimum quand :
      \begin{center}
      $b=\nombre{1,5325}-\nombre{94,75}a$.
      \end{center}
      \item Résoudre le système :
      \begin{center}
      $\left\{\begin{array}{l}
                                                                            77638a=-758b+\nombre{1322,12} \\
                                                                            b=\nombre{1,5325}-\nombre{94,75}a
                                                                           \end{array}
       \right.$.
      \end{center}
      \item On admet (sauriez-vous le démontrer ?) que si le système précédent admet un couple solution, alors $D$ est minimale pour ces valeurs de $a$ et $b$.

       En déduire l'équation de la droite des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $10^{-3}$ près).
    \end{enumerate}
    \item Déterminer le $V$O$_2$ max de Michel, c'est-à-dire sa
      consommation maximale de dioxygène, à plein effort, quand son
      c\oe ur bat à 205 pulsations par minute.
  \end{enumerate}
\end{exercice} 
