\begin{exercice}[Minimisation de distance]
On considère une série de $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, \ldots, $x_n$.
\begin{enumerate}
  \item \'Ecrire le carré de la distance entre une valeur $x_i$ de cette  série et un nombre $x$.
  \item En déduire que la moyenne des carrés des distances entre $x_i$
    et $x$ pour $i$ variant de $1$ à $n$ est :
\[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-x)^2.\]
      Dans la suite on considérera la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-x)^2$.
  \item Montrer que $f'(x)=2x-2\overline{x}$ où $\overline{x}$ est la moyenne de la série $x_1$, $x_2$, \ldots, $x_n$.
  \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
  \item Comment appelle-t-on le minimum de la fonction $f$ et pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
\end{enumerate}
\end{exercice}
