\begin{exercice}
  Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=x^2$,  $A\left( 0 ; \dfrac{3}{2} \right)$ et $M$ un point mobile sur $\mathcal{P}$, d'abscisse $x$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer une expression de $AM$ en fonction de $x$.
  \item \begin{enumerate}
    \item Justifier qu'il suffit de déterminer les variations de $x \mapsto AM^2$ pour en déduire les variations de $x \mapsto AM$.
    \item Déterminer les variations de $x \mapsto AM^2$ sur $\mathbb{R}$.
    \item En déduire que les deux points $M_1(1;1)$ et $M_2(-1;1)$ minimisent la distance $AM$.
    \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
    \item Déterminer les équations des droites $\mathcal{T}_1$ et $\mathcal{T}_2$, tangentes à $\mathcal{P}$ respectivement aux points $M_1$ et $M_2$.
    \item Déterminer, s'il existe, leur point d'intersection.
    \item Que peut-on dire de $(AM_1)$ et $\mathcal{T}_1$ ? de $(AM_2)$ et $\mathcal{T}_2$ ?
    \end{enumerate}
  \item On considère à partir de maintenant que le point $A$ a pour coordonnées $(0;a)$, $a\geq 0$.
    \begin{enumerate}
    \item En étudiant les variations de $x \mapsto AM^2$, démontrer que si $a>\dfrac{1}{2}$, il existe deux points $M_1$ et $M_2$ minimisant la distance $AM$ dont on donnera les coordonnées et que si $a \leq \dfrac{1}{2}$, il n'existe qu'un seul point $M_0$ dont on donnera aussi les coordonnées.
    \item On se place dans le cas où $a>\dfrac{1}{2}$.\\
      Déterminer les équations des droites $\mathcal{T}_1$ et $\mathcal{T}_2$, tangentes à $\mathcal{P}$ respectivement aux points $M_1$ et $M_2$ puis, s'il existe, leur point d'intersection. Que peut-on dire de $(AM_1)$ et $\mathcal{T}_1$ ? de $(AM_2)$ et $\mathcal{T}_2$ ?
    \item On se place dans le cas où $a \leq \dfrac{1}{2}$.\\
      Déterminer l'équation de $\mathcal{T}_0$, tangente à $\mathcal{P}$ en $M_0$. Que peut-on dire de $(AM_0)$ et $\mathcal{T}_0$ ?
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}
