\begin{exercice}On considère le trapèze $ABDC$  rectangle en $A$ et tel que $AB=4$ et $AC=3$ représenté ci-dessous :

  \begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\psline(1,1)(5,1)(7.3,4)(1,4)(1,1)
\uput[d](1,1){$A$} \uput[d](5,1){$B$} \uput[u](1,4){$C$}
\uput[u](7.3,4){$D$}
\end{pspicture}
\end{center}

On cherche à déterminer par trois méthodes différentes, pour quelle(s) mesure(s) de $[CD]$, les droites $(CB)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires.

\vspace{.5\baselineskip}
\partie[Avec des équations de droites]

On se place dans le repère orthonormé
$\left(A\ ;\ \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB},\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)$.
\begin{enumerate}
  \item Déterminer l'équation de la perpendiculaire à $(CB)$ passant par $B$.
  \item En déduire les coordonnées de $D$ puis la distance $CD$.
\end{enumerate}

\partie[Avec des coordonnées\\ et le produit scalaire]

On se place toujours dans le repère orthonormé $\left(A\ ;\ \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB},\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)$ et on considère $D(x\ ;\ 3)$.

\vspace{-\baselineskip}
\begin{enumerate}
  \item Exprimer $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}$ en fonction de $x$.
  \item En déduire les coordonnées de $D$ puis la distance $CD$.
\end{enumerate}

\partie[Avec des décompositions de vecteurs]

\vspace{-\baselineskip}
\begin{enumerate}
  \item Développer $\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}\right)$.
  \item En déduire $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}$ en fonction de $CD$.
  \item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercice}
