\begin{exercice}
  L'objectif de ce probl\`{e}me est d'étudier la fonction
  dérivée de la fonction sinus.

  \partie{}

  On a représenté sur la figure suivante la courbe de la fonction
  sinus $f:x\mapsto{}\sin x$ sur l'intervalle $\left[ {0;\dfrac{\pi
      }{2}} \right]$ et sa tangente au point d'abscisse 0.

  On peut obtenir \`{a} l'aide d'un logiciel de géométrie que
  cette tangente ait pour équation $y = x$.

  {\centering
    \includestandalone{\pathmanuel/figures/img-5}
    \par\vspace{-\baselineskip}}
  \begin{enumerate}
  \item Que peut-on conjecturer pour le nombre dérivé de la fonction
    sinus en 0 ?
  \item Déterminer le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0.
  \item Pour démontrer le résultat conjecturé en 1), il faut étudier
    le quotient $\dfrac{{\sin x}}{x}$.
  \end{enumerate}

  \vspace{-\baselineskip}

  Soit $\mathscr{C}$ le cercle trigonométrique de centre $O$. Soit $M$ le point
  de $\mathscr{C}$ tel que $\left(\vv{OI},\ \vv{OM}\right)=x$ avec $x \in \left]
    0;\dfrac{\pi }{2} \right[$.

  {\centering
    \includestandalone{\pathmanuel/figures/img-6}
    \par\vspace{-\baselineskip}}
  \begin{enumerate}
  \item Que valent les aires du secteur circulaire $OIM$, des
    triangles $OIM$~et $OIT$ ?

  \item Justifier que $\dfrac{1}{2}\sin x \le \dfrac{x}{2} \le
    \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}$.

  \item En déduire que $\cos x \le \dfrac{{\sin x}}{x} \le 1$

  \item En déduire que $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin
        x}}{x} = 1$. Conclure.
  \end{enumerate}

  \vspace{-.5\baselineskip}

  \partie{}

  \vspace{-.25\baselineskip}

  En tra\c{c}ant les tangentes \`{a} la courbe de la fonction sinus en
  $O$, $A$, $B$, $C$ et $D$, on a pu remplir le tableau suivant :

  \vspace{.25\baselineskip}

  \begin{tabular}{|p{27pt}|p{27pt}|p{27pt}|p{27pt}|p{27pt}|p{22pt}|}
    \hline
    \cellcolor{FondTableaux}
    $x$
    & 
    0
    & \Strut[1.5]\BotStrut[2]$\dfrac{\pi }{6}$ & $\dfrac{\pi }{4}$ & $\dfrac{\pi }{3}$ & $\dfrac{\pi }{2}$ \\
    \hline
    \cellcolor{FondTableaux}
    $f'\left( x \right)$ & 
    1
    & \Strut[1.75]\BotStrut[2]$\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ & $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & 
    0
    \\
    \hline
  \end{tabular}

  \begin{enumerate}
  \item Que peut-on conjecturer pour la dérivée de la
    fonction sinus?

  \item Déterminer le taux d'accroissement de la fonction
    sinus entre$ x$ et $x +h$.

  \item Transformer l'expression précédente \`{a} l'aide des
    formules d'addition.

  \item On a démontré que $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}
    \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$ \`{a} la \textbf{partie A}. Remplir le
    tableau de valeurs suivant et conjecturer $\mathop {\lim
    }\limits_{h \to 0} \dfrac{{\cos h - 1}}{h}$.

    \vspace{3pt}

    \begin{tabular}{|p{47pt}|p{28pt}|p{35pt}|p{35pt}|}
      \hline

      $h$
      & 
      0,1
      & 
      0,01
      & 
      0,001
      \\
      \hline
      $\dfrac{{\cos h - 1}}{h}$ &  &  &  \\
      \hline
    \end{tabular}

    \vspace{3pt}

  \item En déduire la fonction dérivée de la fonction sinus.
  \end{enumerate}
\end{exercice}
