\begin{exercice}
   [Le nombre d'or]

  \partie[La suite de Fibonacci\\et le nombre d'or]

  Ses deux premiers termes sont 1 et 1, puis chaque terme et la somme
  des deux termes qui le préc\`{e}dent.

  En notant ${u_n}$ le terme d'indice $n$ de la suite, on a ${u_0} =
  1$~; ${u_1} = 1$\ldots{}
  \begin{enumerate}
  \item Donner les valeurs des cinq termes suivants.
  \item Donner la relation de récurrence permettant de calculer un
    terme en fonction des deux termes qui le préc\`{e}dent.
  \item Cette suite est-elle arithmétique~? géométrique~?
  \item \`{A} l'aide d'un algorithme programmé sur calculatrice ou
    ordinateur ou \`{a} l'aide d'un tableur, calculer les 40 premiers
    termes de cette suite.
  \end{enumerate}

  \partie[Construction géométrique\\ d'une spirale]
  
  On construit un premier carré de c\^{o}té ${u_0} = 1$, un
  second carré de c\^{o}té ${u_1} = 1$ puis, en tournant dans
  le sens direct, des carrés dont le c\^{o}té est la somme des
  deux c\^{o}tés précédents.

      \begin{center}
        \includestandalone[width=.85\linewidth]{\pathmanuel/figures/img-16}
      \end{center}

      \begin{enumerate}
      \item Quelle relation de récurrence vérifie la suite $\left(
          {{u_n}} \right)$ des c\^{o}tés des carrés successifs ?
      \end{enumerate}

      \partie[Une suite auxiliaire]

      Soit $\left( {{v_n}} \right)$ la suite définie pour tout
      $n\in{}\N^*$ par 

      ${v_n} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$.

      \vspace{-\baselineskip}
      \begin{enumerate}
      \item \`{A} l'aide d'un algorithme programmé sur
        calculatrice ou ordinateur ou \`{a} l'aide d'un tableur,
        calculer les 40 premiers termes de cette suite.
      \item Conjecturer une valeur approchée de la limite de cette
        suite.
      \end{enumerate}

      \textbf{\textit{Dans la suite de l'exercice, on admet que la
          suite $\left( {{v_n}} \right)$ converge vers $\phi =
          \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$.}}  \textbf{\textit{Ce nombre est
          appelé nombre d'or.}}

  \partie[Propriété du nombre d'or]
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre l'équation ${x^2} - x - 1 = 0$. Que constate-t-on~?

  \item En déduire que $\phi = \dfrac{{1 + \phi }}{\phi } =
    \dfrac{1}{{\phi - 1}}$.
  \end{enumerate}

  \partie[Une autre suite\ldots{}]

  Soit $\left( {{w_n}} \right)$ la suite définie pour tout
  $n\in{}\N$ par~: 

  ${w_n} = - \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{\phi ^n} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{(1
    - \phi )^n}$.
  \begin{enumerate}
  \item Calculer les trois premiers termes de la suite.

  \item On a obtenu \`{a} l'aide d'un logiciel de calcul formel les
    résultats suivants.

    {\centering
      \includegraphics[width=\linewidth]{\pathmanuel/figures/img-4.eps}
    \par}

    Interpréter ces résultats.

  \item Rechercher des informations sur le nombre d'or : en
    architecture ; dans la nature\ldots{}
  \end{enumerate}
\end{exercice}
