\begin{exercice}
   Une urne contient 3 boules rouges, 4 boules bleues et $n$ boules
  vertes (o\`{u} $n$ est un entier naturel non nul). Les boules sont
  indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise 2
  boules de l'urne. On note $X$ le nombre de couleurs apparues.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer la loi de probabilité de $X$.

  \item Montrer que $E\left( X \right) = \dfrac{{{n^2} + 28n +
        73}}{{{{\left( {n + 7} \right)}^2}}}$

  \item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\left[
      {1; + \infty } \right[$ par $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} +
        28x + 73}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}}$.

  \item En déduire la valeur de $n$ pour laquelle l'espérance $E(X)$
    est maximale.
  \end{enumerate}
\end{exercice}
