\begin{propriete}[Formule d'addition du cosinus et du sinus]
Soit $a$ et $b$ deux réels.
\begin{colitemize}{2}
  \item $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$
  \item $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$
  \item $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$
  \item $\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)$
\end{colitemize}
\end{propriete}

\begin{preuve} Sur le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vv{i},\vv{j}\right)$, on place deux points $A$ et $B$ de sorte que $\left(\vv{i}\ ;\ \vv{OA}\right)=a$ $(2\pi)$ et $\left(\vv{i}\ ;\ \vv{OB}\right)=b$ $(2\pi)$.

\vspace{-\baselineskip}

\parbox{0.8\linewidth}{\begin{itemize}
  \item On a $\left(\vv{OB}\ ;\ \vv{OA}\right)=\left(\vv{OB}\ ;\ \vv{i}\right)+\left(\vv{i}\ ;\ \vv{OA}\right)$ par la relation de Chasles
puis $\left(\vv{OB}\ ;\ \vv{i}\right)+\left(\vv{i}\ ;\ \vv{OA}\right)=-\left(\vv{i}\ ;\ \vv{OB}\right)+\left(\vv{i}\ ;\ \vv{OA}\right)$

\hspace{4.22cm}$=-b+a=a-b$ $(2\pi)$.

Ainsi, $\vv{OB}\cdot \vv{OA}=OB\times OA\times \cos\left(\vv{OB};\vv{OA}\right)=\cos(a-b)$.
  \item D'autre part, par définition du sinus et du cosinus, on a $A(\cos(a);\sin(a))$ et $B(\cos(b);\sin(b))$   %$\vv{OA}\covec{\cos(a)}{\sin(a)}$ et $\vv{OB}\covec{\cos(b)}{\sin(b)}$
  donc $\vv{OB}\cdot \vv{OA}=\cos(b)\cos(a)+\sin(b)\sin(a)$.
\end{itemize}
}\hfill\parbox{0.2\linewidth}{
 \begin{tikzpicture}[general, scale=1.5]
 \draw (0,0) circle (1);
 \draw[axe] (-1,0)--(1,0);
 \draw[axe] (0,-1)--(0,1);
 \foreach \x/\y/\N/\pos in {0/0/O/below left, 0.87/0.5/A/above right,  -0.3/0.95/B/above left} { \draw (\x,\y) node[\pos] {$\N$};}
 \draw[color=A1, epais] (0,0)--(0.87,0.5);
 \draw[color=C1, epais] (0,0)--(-0.3,0.95);
 \draw[->,color=A1, epais] (0.35,0) arc (0:30:0.35);
 \draw[->,color=C1, epais] (0.2,0) arc (0:107.46:0.2);
\draw[color=A1] (0.5,0.1) node {$a$};
\draw[color=C1] (0.17,0.3) node {$b$};
 \draw (0.5,0) node[below]{$\vv{i}$} ;
 \draw (0,0.6) node[right]{$\vv{j}$} ;
 \end{tikzpicture}}
 Il en résulte que $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$.

 Les autres formules se déduisent de la précédente (voir exercice \RefExercice{1G3_formule_addition} page \pageref{1G3_formule_addition}).


\end{preuve}

\begin{exemple*1} Justifier que $\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{12}$ puis calculer $\sin\dfrac{\pi}{12}$.

\correction

On a $\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{12}-\dfrac{2\pi}{12}=\dfrac{\pi}{12}$ donc :

$\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}\right)
=\sin\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}-\sin\dfrac{\pi}{6}\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

\end{exemple*1}
