\section{Applications du produit scalaire}

\begin{propriete}[\'Equation de cercle]\MotDefinition[Équation de cercle]{}{} Dans un repère orthonormé du plan :
\begin{itemize}
  \item le cercle $\mathscr{C}$ de centre $\Omega$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2=r^2$ ;
  \item le cercle $\mathscr{C}'$ de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ vérifiant $\vv{MA}\cdot\vv{MB}=0$.

  %Il a pour équation $(x_A-x)(x_B-x)+(y_A-y)(y_B-y)=0$.
\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
  \item $M(x;y)\in \mathscr{C}\Leftrightarrow \Omega M=r\Leftrightarrow \Omega M^2=r^2$ (puisque $\Omega M$ et $r$ sont positifs)
  
  $\phantom{M(x;y)\in \mathscr{C}}\Leftrightarrow (x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2=r^2$.
   %puisque $\vv{\Omega M}\covec{x-a}{y-b}$ donc $\Omega M^2=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}^2=(x-a)^2+(y-b)^2$.
  \item $M\in \mathscr{C}'\Leftrightarrow ABM$ est rectangle en $M$ ou $M=A$ ou $M=B\Leftrightarrow \vv{MA}\perp\vv{MB}\Leftrightarrow \vv{MA}\cdot\vv{MB}=0$.
\end{itemize}
\end{preuve}
