\begin{propriete} On se place dans un repère orthonormé du plan et on considère deux réels $a$ et $b$ non tous les deux nuls.
\begin{itemize}
  \item La droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ admet $\vv{n}\covec{a}{b}$ pour vecteur normal.
  \item Réciproquement, une droite admettant $\vv{n}\covec{a}{b}$ pour vecteur normal a pour équation $ax+by+c=0$ (où $c$ est à déterminer).
\end{itemize}


\end{propriete}

\begin{preuve}

\begin{itemize}
  \item Soit $\vv{n}\covec{a}{b}$ et $d$ d'équation $ax+by+c=0$. On sait que $d$ admet $\vv{u}\covec{-b}{a}$ pour vecteur directeur or $\vv{u}\cdot \vv{n}=-b\times a+a\times b=-ba+ab=0$ donc $\vv{n}\covec{a}{b}$ est orthogonal à $\vv{u}$, vecteur directeur de $d$ : $\vv{n}$ est un vecteur normal à $d$.
  \item Soit une droite $d$ admettant $\vv{n}\covec{a}{b}$ pour vecteur normal et $A(x_A;y_A)$ un point de $d$.

  Un point $M(x;y)$ appartient à $d$ si, et seulement si, $\vv{AM}$ est orthogonal à $\vv{n}\Leftrightarrow \vv{AM}\cdot \vv{n}=0$.

  Comme $\vv{AM}\covec{x-x_A}{y-y_A}$ et $\vv{n}\covec{a}{b}$, $M\in d\Leftrightarrow (x-x_A)a+(y-y_A)b=0$

  $\Leftrightarrow ax+by+(-ax_A-by_A)=0$ : la droite $d$ a  bien une équation de la forme $ax+by+c=0$.
\end{itemize}

\end{preuve}

\begin{exemple} Donner un vecteur normal à la droite $d$ d'équation $2x-3y+5=0$ dans un  repère orthonormé.

\correction

$2x-3y+5=0$  est de la forme $ax+by+c=0$  avec $a=2$ et $b=-3$ donc $\vv{n}\covec{2}{-3}$ est normal à $d$.

\end{exemple}
