\begin{propriete} Soit $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan et $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. 

On~a alors :
\begin{center}
$\vv{AB}\cdot \vv{AC}=\vv{AB}\cdot \vv{AH}.$
\end{center}

Plus précisément, si $H\neq A$, il y a deux configurations possibles :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
  \item $\vv{AB}$ et $\vv{AH}$ ont même sens :
  \begin{center}
	\begin{tikzpicture}[general,scale=0.8]
   \draw (0,0)--(5,0)     ;
   \draw[dashed] (3,2)--(3,0) ;
   \draw[->,color=A1, epais] (1,0)--(4,0);
   \draw[->,color=A1, epais] (1,0)--(3,2);
   \draw[->,color=A1, epais] (1,0)--(3,0);
   \draw (1,0) node[below]{$A$} ;
   \draw (4,0) node[below]{$B$} ;
   \draw (3,2) node[above]{$C$} ;
   \draw (3,0) node[below]{$H$} ;
   \draw (3,0.3)--(3.3,0.3)--(3.3,0) ;
  \end{tikzpicture}	
\end{center}
$\vv{AB}\cdot \vv{AC}=\vv{AB}\cdot \vv{AH}=AB\times AH$
  \item $\vv{AB}$ et $\vv{AH}$ sont de sens opposés :
  \begin{center}
	\begin{tikzpicture}[general,scale=0.8]
   \draw (0,0)--(5,0) ;
   \draw[dashed] (0.5,2)--(0.5,0) ;
   \draw[->,color=A1, epais] (2,0)--(4.5,0);
   \draw[->,color=A1, epais] (2,0)--(0.5,2);
   \draw[->,color=A1, epais] (2,0)--(0.5,0);
   \draw (2,0) node[below]{$A$} ;
   \draw (4.5,0) node[below]{$B$} ;
   \draw (0.5,2) node[above]{$C$} ;
   \draw (0.5,0) node[below]{$H$} ;
   \draw (0.5,0.3)--(0.2,0.3)--(0.2,0) ;
  \end{tikzpicture}	
\end{center}
$\vv{AB}\cdot \vv{AC}=\vv{AB}\cdot \vv{AH}=-AB\times AH$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{propriete}

\begin{preuve} D'après la relation de Chasles, $\vv{AC}=\vv{AH}+\vv{HC}$ donc :

$\vv{AB}\cdot \vv{AC}=\vv{AB}\cdot (\vv{AH}+\vv{HC})=\vv{AB}\cdot \vv{AH}+\vv{AB}\cdot \vv{HC}=\vv{AB}\cdot \vv{AH}$ 

puisque, $\vv{AB}$ et  $\vv{HC}$ étant orthogonaux par définition de $H$, $\vv{AB}\cdot \vv{HC}=0$.

\end{preuve}

\begin{exemple} On considère le carré $ABCD$ ci-dessous de côté $2$ et $I$ le milieu de $[AB]$.

  \begin{center}
	\begin{tikzpicture}[general,scale=0.5]
   \draw (0,0) rectangle (3,3)     ;
   \draw (0,0) node[below]{$A$} ;
   \draw (3,0) node[below]{$B$} ;
   \draw (3,3) node[above]{$C$} ;
   \draw (0,3) node[above]{$D$} ;
   \pointGraphique{1.5}{0}{I}{below}

  \end{tikzpicture}	
\end{center}

Calculer $\vv{AB}\cdot \vv{AC}$ puis $\vv{IC}\cdot \vv{BI}$

\correction

\begin{itemize}
  \item $B$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ donc : $$\vv{AB}\cdot \vv{AC}=\vv{AB}\cdot \vv{AB}=AB^2=2^2=4.$$
  \item $\vv{IC}\cdot \vv{BI}=\vv{IC}\cdot \vv{IA}=\vv{IA}\cdot \vv{IC}$ et $B$ est le projeté\\
    orthogonal de $C$ sur $(IA)$ donc : $$\vv{IC}\cdot
    \vv{BI}=\vv{IA}\cdot \vv{IB}=-IA\times IB=-\nombre{1}^2=-1.$$
\end{itemize}

\end{exemple}

\begin{remarque}~~

\vspace{-\baselineskip}\parbox{0.65\linewidth}{Soit $C$ et $D$ deux points distincts, extérieurs à une droite $(AB)$.

On peut montrer (voir exercice \RefExercice{1G3_proj} page \pageref{1G3_proj}) que

$\vv{AB}\cdot \vv{CD}=\vv{AB}\cdot \vv{C'D'}$, où $C'$ et $D'$ sont les projetés orthogonaux respectifs de $C$ et $D$ sur $(AB)$.}\hfill\parbox{0.3\linewidth}{
\begin{tikzpicture}[general,scale=0.6]
   \draw (0,0)--(6,0) ;
   \draw (0,1)--(6,4) ;
   \draw[dashed] (2,2)--(2,0) ;
   \draw[dashed] (5.5,3.75)--(5.5,0) ;
   \draw[->,color=B1, epais] (1,0)--(4,0);
   \draw[->,color=B1, epais] (2,2)--(5.5,3.75);
   \draw (1,0) node[below]{$A$} ;
   \draw (4,0) node[below]{$B$} ;
   \draw (2,2) node[above]{$C$} ;
   \draw (5.5,3.75) node[above]{$D$} ;
   \draw (2,0) node[below]{$C'$} ;
   \draw (5.5,0) node[below]{$D'$} ;
   \draw (2,0.4)--(2.4,0.4)--(2.4,0) ;
   \draw (5.5,0.4)--(5.9,0.4)--(5.9,0) ;
  \end{tikzpicture}

}
\end{remarque}

