\begin{methode} [Déterminer un angle avec le produit scalaire \MethodeRefExercice*{1G3_E_angle}]
\exercice \label{1G3_M_angle}

Dans un repère orthonormé, on considère $A(0\ ;\ 0)$, $B(5\ ;\ 1)$ et $C(2\ ;\ 4)$.
\begin{enumerate}
  \item Calculer $\vv{AB}\cdot \vv{AC}$, $AB$ et $AC$.
  \item En déduire une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

  On donnera le résultat en degrés, arrondi à \nombre{0,1} près.
\end{enumerate}

\correction
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item On a $\vv{AB}\covec{5}{1}$ et $\vv{AC}\covec{2}{4}$ donc :
  \begin{itemize}
    \item $\vv{AB}\cdot \vv{AC}=5\times2+1\times 4=14$
    \item $AB=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$
    \item $AC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
  \end{itemize}
  \item De $\vv{AB}\cdot \vv{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right)$, on déduit que $\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{\vv{AB}\cdot \vv{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{14}{\sqrt{26}\times 2\sqrt{5}}=\dfrac{7}{\sqrt{130}}$.

      La calculatrice donne $\widehat{BAC}\approx 52,1$\degre.
\end{enumerate}
\end{methode}

\begin{remarque} Plus généralement, le produit scalaire et la relation de Chasles permettent de montrer le \textcolor{H1}{\bfseries théorème d'Al-Kashi}{} qui donne des relations entre les longueurs des côtés et les mesures des angles d'un triangle (voir \textbf{TP \ref{1G3_al_kashi}} page \pageref{1G3_al_kashi}).
\end{remarque}
