\section{Autres expressions du produit scalaire}

\begin{propriete} Pour deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ non nuls et trois points $A$, $B$ et $C$ distincts du plan :
\begin{colitemize}{2}
  \item $\vv{u}\cdot \vv{v}=\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}\times \left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}\times \cos\left(\vv{u};\vv{v}\right)$ ;
  \item $\vv{AB}\cdot \vv{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right)$.
\end{colitemize}
\end{propriete}

\begin{remarque} Pour la preuve de cette propriété, on se référera  à \textbf{l'Activité \ref{1G3_cos}} page \pageref{1G3_cos}.

\end{remarque}

\begin{exemple} On considère le carré $ABCD$ ci-dessous de côté $3$.

  \vspace{-\baselineskip}\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[general,scale=0.7]
   \draw (0,0) rectangle (3,3)     ;
   \draw (0,0) node[below]{$A$} ;
   \draw (3,0) node[below]{$B$} ;
   \draw (3,3) node[above]{$C$} ;
   \draw (0,3) node[above]{$D$} ;
  \end{tikzpicture}	
\end{center}
\vspace{-\baselineskip}Calculer $\vv{BC}\cdot \vv{AC}$.

\correction

On exprime d'abord ce produit scalaire en fonction de représentants des vecteurs de même origine $A$.

En effet, on sait que  $\vv{BC}=\vv{AD}$, il en résulte  donc que :

 $\vv{BC}\cdot \vv{AC}=\vv{AD}\cdot \vv{AC}=AD\times AC\times \cos\left(\widehat{DAC}\right)$.

Comme, de plus, $AD=3$, $AC=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ et $\cos\left(\widehat{DAC}\right)=\cos\left(45\degres\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, on en déduit que :

\vspace{-\baselineskip}\begin{center}
$\vv{BC}\cdot \vv{AC}=3\times 3\sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{9\sqrt{2}^2}{2}=9$.
\end{center}
\end{exemple}
