\section{Propriétés algébriques}

La formule $\vv{u}\cdot\vv{v}=xx'+yy'$ permet de démontrer facilement les propriétés algébriques suivantes.

\begin{propriete}
\begin{itemize}
  \item Le produit scalaire est \MotDefinition{distributif}{} par rapport à l'addition : $\vv{u}\cdot(\vv{v}+\vv{w})=\vv{u}\cdot\vv{v}+\vv{u}\cdot\vv{w}$.
  \item Pour deux réels $k$ et $k'$ : $(k\vv{u})\cdot (k'\vv{v})=(k\times k')\vv{u}\cdot \vv{v}$.

   En particulier $(-\vv{u})\cdot\vv{v}=\vv{u}\cdot(-\vv{v})=-\vv{u}\cdot\vv{v}$.
\end{itemize}

\vspace{-\baselineskip}
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
  \item Soit $\vv{u}\covec{x}{y}$, $\vv{v}\covec{x'}{y'}$ et $\vv{w}\covec{x''}{y''}$ dans un repère orthonormé.

  On a alors $\vv{v}+\vv{w}\covec{x'+x''}{y'+y''}$ puis :

    $\vv{u}\cdot(\vv{v}+\vv{w})= x(x'+x'')+y(y'+y'')= xx'+xx''+yy'+yy''= xx'+yy'+xx''+yy''$

    $\phantom{\vv{u}\cdot(\vv{v}+\vv{w})}=\vv{u}\cdot\vv{v}+\vv{u}\cdot\vv{w}$.
  \item Voir exercice \RefExercice{1G3_propalg} page \pageref{1G3_propalg}.
\end{itemize}
\end{preuve}

\begin{remarques}
\begin{itemize}
  \item Le produit scalaire est également distributif par rapport à la soustraction puisque :

  $\vv{u}\cdot(\vv{v}-\vv{w})=\vv{u}\cdot(\vv{v}+(-\vv{w}))=\vv{u}\cdot\vv{v}+\vv{u}\cdot(-\vv{w})
      =\vv{u}\cdot\vv{v}+(-\vv{u}\cdot\vv{w})=\vv{u}\cdot\vv{v}-\vv{u}\cdot\vv{w}$.
  \item Plus largement, $(\vv{u}+\vv{v})\cdot(\vv{w}+\vv{z})=\vv{u}\cdot\vv{w}+\vv{u}\cdot\vv{z}+\vv{v}\cdot\vv{w}+\vv{v}\cdot\vv{z}$.
\end{itemize}
\end{remarques}

\begin{exemple*1} Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan. Montrer que $\vv{AB}\cdot \vv{BC}-\vv{AB}\cdot \vv{BD}=\vv{AB}\cdot \vv{DC}$.

\correction

$\vv{AB}\cdot \vv{BC}-\vv{AB}\cdot \vv{BD}=\vv{AB}\cdot (\vv{BC}-\vv{BD})=\vv{AB}\cdot (\vv{BC}+\vv{DB})=\vv{AB}\cdot (\vv{DB}+\vv{BC})=\vv{AB}\cdot \vv{DC}$ d'après la relation de Chasles.\medskip

\end{exemple*1}

