\section{Produit scalaire et coordonnées}

Dans ce paragraphe, toutes les coordonnées sont données dans un repère \textbf{orthonormé} du plan.

\begin{propriete} Soit $\vv{u}\covec{x}{y}$ et $\vv{v}\covec{x'}{y'}$. Le produit scalaire de $\vv{u}$ et $\vv{v}$ est donné par :

  \centerline{$\vv{u}\cdot\vv{v}=xx'+yy'.$}

\end{propriete}

\begin{preuve} Remarquons préalablement que $\vv{u}+\vv{v}\covec{x+x'}{y+y'}$. On a alors :
\begin{align*}
  \vv{u}\cdot\vv{v} &= \dfrac{1}{2}\left(\left\Vert{}\vv{u}+\vv{v}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}^2\right) \\
   &= \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{(x+x')^2+(y+y')^2}^2-\sqrt{x^2+y^2}^2-\sqrt{x'^2+y'^2}^2\right) \\
   &= \dfrac{1}{2}\left(\left(x+x'\right)^2+\left(y+y'\right)^2-\left(x^2+y^2\right)-\left(x'^2+y'^2\right)\right) \\
   &= \dfrac{1}{2}\left(x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2-x^2-y^2-x'^2-y'^2\right) \\
   &= \dfrac{1}{2}\left(2xx'+2yy'\right)= \dfrac{1}{2}\times 2(xx'+yy')=xx'+yy'.
   %&=& \dfrac{1}{2}\times 2(xx'+yy') \\
   %&=& xx'+yy'.
\end{align*}
\end{preuve}

\begin{remarque}Cette formule n'est valable \textcolor{H1}{\bfseries que dans un repère orthonormé}.
\end{remarque}
