\begin{propriete}Soit $\vv{u}$ et $\vv{v}$ deux vecteurs non nuls.

$\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\left(\vv{u};\vv{v}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ ou $-\dfrac{\pi}{2}$ $(2\pi)$.

\end{propriete}

\begin{remarques}
\begin{itemize}
  \item Concrètement, cela veut dire que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux quand ils \og forment un angle droit \fg{}.
  \item Pour $k\neq 0$, on sait que $\left(\vv{u};k\vv{v}\right)=\left(\vv{u};\vv{v}\right)$ ou $-\left(\vv{u};\vv{v}\right)$ $(2\pi)$ donc si $\vv{u}$ est orthogonal à $\vv{v}$, alors $\vv{u}$ est orthogonal à tout vecteur colinéaire à $\vv{v}$.
\end{itemize}
\end{remarques}

\begin{preuve} Soit $A$ et $B$ tels que $\vv{u}=\vv{AB}$ et $C$ tel que $\vv{v}=\vv{BC}$ comme sur le graphique de la première remarque.

On a alors $\vv{u}+\vv{v}=\vv{AC}$ ainsi :

$\vv{u}\cdot\vv{v}%=\dfrac{1}{2}\left(\left\Vert{}\vv{u}+\vv{v}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}^2\right)
=\dfrac{1}{2}\left(\left\Vert{}\vv{AC}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{AB}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{BC}\right\Vert{}^2\right)=\dfrac{1}{2}\left(AC^2-AB^2-BC^2\right)$.

Il en résulte que $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont orthogonaux $\Leftrightarrow \vv{u}\cdot\vv{v}=0
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left(AC^2-AB^2-BC^2\right)=0$

$\Leftrightarrow AC^2=AB^2+BC^2\Leftrightarrow ABC$ est rectangle en $B$ autrement dit $\left(\vv{u};\vv{v}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ ou $-\dfrac{\pi}{2}$ $(2\pi)$.

\end{preuve}

\begin{exemple*1} Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$, $AC=5$ et $BC=8$. 

Les vecteurs $\vv{BA}$ et $\vv{AC}$ sont-ils orthogonaux ?

\correction

\vspace{-\baselineskip}\begin{multicols}{2}
D'après l'exemple précédent, ${\vv{BA}\cdot\vv{AC}=\dfrac{3}{2}\neq 0}$ donc les vecteurs $\vv{BA}$ et $\vv{AC}$ ne sont pas orthogonaux.

 Cela veut dire que, sur la figure ci-contre, les droites $(BA)$ et $(AC)$ ne sont pas perpendiculaires donc que $ABC$ n'est pas rectangle en $A$.

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[general, scale=0.66]

\draw (0,0)--(4.69,3.75)--(8,0)--(0,0) ;

   \draw (4.69,3.75) node[above]{$A$} ;
   \draw (0,0) node[below]{$B$} ;
   \draw (8,0) node[below]{$C$} ;
   



\draw [->, color=B1, epais] (0,0)--(4.69,3.75) ;
\draw [->, color=B1, epais] (4.69,3.75) -- (8,0);
\draw (2.35,1.88) node[above] {5};
\draw (6.35,1.88) node[above] {6};
\draw (4,0) node[below] {8};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}

\end{exemple*1}

\begin{remarque} Pour deux vecteurs de norme fixée, on dit que le produit scalaire est une mesure du \textcolor{H1}{\bfseries défaut d'orthogonalité} de ces deux vecteurs : plus il est proche de 0, plus l'angle formé par ces deux vecteurs \og semble droit \fg{}.


\end{remarque}
