Dans tout ce chapitre $\vv{u}$, $\vv{v}$ et $\vv{w}$ désignent des vecteurs du plan.

\section{Définition du produit scalaire et orthogonalité}

\begin{definition} Le \MotDefinition{produit scalaire}{} de $\vv{u}$ et $\vv{v}$, noté $\vv{u}\cdot \vv{v}$ (qui se lit \og $\vv{u}$ scalaire $\vv{v}$ \fg{}),
est défini par :

$$\vv{u}\cdot\vv{v}=\dfrac{1}{2}\left(\left\Vert{}\vv{u}+\vv{v}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}^2\right).$$

\end{definition}

\begin{remarques}
	 \begin{itemize}
		\item Concrètement, cela correspond à la moitié de l'écart relatif entre $AC^2$ et $AB^2+BC^2$ sur le graphique ci-dessous.
		
\vspace{-1cm}\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[general,scale=0.9]
   \draw[->,color=A1, epais] (0,0)--(4,1);
   \draw[->,color=C1, epais] (4,1)--(5,3);
   \draw[->,color=H1, epais] (0,0)--(5,3);
   \draw[color=A1] (2,0.5) node[below]{{\boldmath $\vv{u}$}};
   \draw[color=C1] (4.5,2) node[right]{{\boldmath $\vv{v}$}};
   \draw[color=H1] (2.5,1.8) node[above]{{\boldmath $\vv{u}+\vv{v}$}};
   \draw (0,0) node[below]{$A$} ;
   \draw (4,1) node[below]{$B$} ;
   \draw (5,3) node[above]{$C$} ;
  \end{tikzpicture}	
\end{center}
		\item Le produit scalaire de deux vecteurs n'est pas un vecteur mais \textcolor{H1}{\bfseries un nombre réel}.
	\end{itemize}
\end{remarques}

\begin{exemple*1}Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$, $AC=5$ et $BC=8$. 
Calculer $\vv{BA}\cdot \vv{AC}$.

\correction

On a $\vv{BA}\cdot\vv{AC}=\dfrac{1}{2}\left(\left\Vert{}\vv{BA}+\vv{AC}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{BA}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{AC}\right\Vert{}^2\right)
=\dfrac{1}{2}\left(\left\Vert{}\vv{BC}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{BA}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{AC}\right\Vert{}^2\right)$

$\phantom{\text{On a }\vv{BA}\cdot\vv{AC}}=\dfrac{1}{2}\left(BC^2-BA^2-AC^2\right)=\dfrac{1}{2}\left(8^2-6^2-5^2\right)=\dfrac{3}{2}$.

\end{exemple*1}
