\begin{exercice}[~][\tice] On considère un carré $ABCD$ de côté $1$ avec $M\in[AB]$  et on note $x=AM$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,scale=0.6]
   \draw (0,0) rectangle (3,3) ;
   \draw [color=A1,epais] (1.8,0)--(0,3) ;
   \draw [color=B1,epais] (1.8,0)--(3,3) ;
   \draw (0,0) node[below]{$A$} ;
   \draw (3,0) node[below]{$B$} ;
   \draw (1.8,0) node[below]{$M$} ;
   \draw (3,3) node[above]{$C$} ;
   \draw (0,3) node[above]{$D$} ;
   \draw (0.9,0) node[below]{$x$} ;
  \end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item On considère le repère $\left(A\ ;\ \vv{AB},\vv{AD}\right)$.
  \begin{enumerate}
          \item Donner les coordonnées de $A$, $B$, $C$, $D$ et $M$ dans ce repère.
          \item En déduire les coordonnées de $\vv{MC}$ et $\vv{MD}$.
          \item Exprimer $\vv{MC} \cdot \vv{MD}$ en fonction de $x$.
          \item L'angle $\widehat{CMD}$ peut-il être droit ?
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Exprimer $MC$ et $MD$ en fonction de $x$.
          \item Montrer que $\cos\left(\widehat{CMD}\right)=\dfrac{x^2-x+1}{\sqrt{(1+x^2)(2-2x+x^2)}}$.
        \end{enumerate}
  \item Dans un logiciel de calcul formel, on a entré successivement :
  \begin{itemize}
    \item \verb"f(x):=(x^2-x+1)/sqrt((1+x^2)*(2-2x+x^2))"
    \item \verb"h(x):=deriver(f(x),x)"
    \item \verb"resoudre(h(x)=0,x)"
    \item \verb"resoudre(h(x)>0,x)"
    \item \verb"resoudre(h(x)<0,x)"
  \end{itemize}

  où \verb"sqrt" désigne la racine carrée.
  \begin{enumerate}
          \item Aux trois dernières étapes, le logiciel répond successivement :
          \begin{itemize}
            \item \verb"x=1/2"
            \item \verb"x>1/2"
            \item \verb"x<1/2"
          \end{itemize}
          Interpréter ce résultat.
          \item En déduire le tableau de signe de $f'(x)$ puis le tableau de variations de $f$ sur $[0\ ;\ 1]$.
          \item Quel est le minimum de $f$ sur $[0\ ;\ 1]$ ?
        \end{enumerate}
  \item  \begin{enumerate}
           \item On a tracé ci-dessous le cercle trigonométrique :
          \begin{center}
          \begin{tikzpicture}[general, scale=1]
 \draw (0,0) circle (1);
 \draw[axe] (-1,0)--(1,0);
 \draw[axe] (0,-1)--(0,1);
 \pointGraphique{1}{0}{$1$}{right}
 \pointGraphique{0}{1}{$1$}{above}
 \end{tikzpicture}
          \end{center}

          Le reproduire et placer $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\nombre{0,6}$ sur l'axe des abscisses.
           \item Déterminer, à \nombre{0,01} degré près, la mesure maximale de l'angle $\widehat{CMD}$.
         \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exercice}
