\begin{exercice} On considère le rectangle $ABCD$ tel que $AB=4$ et
  $AD=3$ ci-dessous avec $E\in[CB]$ tel que $EC=1$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,scale=0.8]
   \draw (0,0) rectangle (4,3)     ;
   \draw (0,0) node[below]{$A$} ;
   \draw (4,0) node[below]{$B$} ;
   \draw (4,3) node[above]{$C$} ;
   \draw (0,3) node[above]{$D$} ;
   \draw [color=A1,epais] (0,3)--(4,2) ;
   \draw [color=B1,epais] (0,0)--(0.75,3) ;
   \pointGraphique{4}{2}{E}{right}
  \end{tikzpicture}
\end{center}
On cherche à déterminer où placer le point $F$ de $[CD]$ tel que $(DE)$ et $(AF)$ soient perpendiculaires.

Pour cela, nous allons utiliser deux méthodes, l'une analytique, l'autre géométrique.

\partie[Méthode analytique]
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Donner les coordonnées de $A$, $D$ et $E$ dans le repère $\left(A\ ;\ \dfrac{1}{4}\vv{AB},\dfrac{1}{3}\vv{AD}\right)$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Soit $F(x\ ;\ y)$.

          Donner une condition sur $y$ pour que $F$ appartiennent bien à $(CD)$.
          \item Justifier que $(DE)\perp(AF)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
                                                                     y=3 \\
                                                                     4x-3=0
                                                                   \end{array}\right.$.
          \item En déduire où placer $F$ sur $[CD]$ pour que $(DE)$ et $(AF)$ soient perpendiculaires.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\partie[Méthode géométrique]
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Montrer que $\left(\vv{DC}+\vv{CE}\right)\cdot\left(\vv{AD}+\vv{DF}\right)=4DF-3$.
  \item En déduire que le point $F$ de $[CD]$ tel que $(DE)$ et $(AF)$ soient perpendiculaires vérifie $DF=\dfrac{3}{4}$.
\end{enumerate}

\end{exercice}
