\begin{exercice}[Formules de duplication]Soit $x$ un réel.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Exprimer $\cos(2x)$ en fonction de $\left(\cos(x)\right)^2$ et $\left(\sin(x)\right)^2$.
          \item En utilisant l'égalité $\left(\cos(x)\right)^2+\left(\sin(x)\right)^2=1$, montrer que :

          $\cos(2x)=2\left(\cos(x)\right)^2-1=1-2\left(\sin(x)\right)^2$.
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Justifier que $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right)^2-1$ puis déterminer $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.
          \item En déduire $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.
        \end{enumerate}
  \item Déterminer de même $\cos\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)$.
\end{enumerate}


\end{exercice}
