\begin{exercice}On considère le rectangle $ABCD$ ci-dessous tel que $AB=4$ et $AD=2$.
\begin{center}
\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{tikzpicture}[general,scale=0.5]
   \draw (0,0)rectangle (4,2) ;
   \draw (0,0) node[below]{$A$} ;
   \draw (4,0) node[below]{$B$} ;
   \draw (4,2) node[above]{$C$} ;
   \draw (0,2) node[above]{$D$} ;
  \end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-2\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item On cherche à déterminer l'ensemble $\mathscr{E}_1$ des points $M$ du plan tels que $\vv{AB}\cdot \vv{AM}=8$.
  \begin{enumerate}
    \item Montrer qu'un point $M$ appartient à $\mathscr{E}_1$ si, et seulement si, $M'$, son projeté orthogonal sur $(AB)$, vérifie $AB\times AM'=8$ et $M'\in [AB)$.
    \item En déduire $M'$ puis $\mathscr{E}_1$.
  \end{enumerate}
\item On cherche à déterminer l'ensemble  $\mathscr{E}_2$ des points $M$ du plan tels que $\vv{BC}\cdot \vv{DM}=-2$.
  \begin{enumerate}
    \item Montrer qu'un point $M$ appartient à $\mathscr{E}_2$ si, et seulement si, $M'$, son projeté orthogonal sur $(BC)$, vérifie $BC\times CM'=2$  et $M'\in [CB)$.
    \item En déduire $M'$ puis $\mathscr{E}_2$.
  \end{enumerate}
  \item Reproduire le rectangle de l'énoncé puis tracer, après l'avoir déterminé :
  \begin{enumerate}
    \item en rouge, l'ensemble $\mathscr{E}_3$ des points $M$ du plan tels que $\vv{CD}\cdot \vv{CM}=16$ ;
    \item en bleu, l'ensemble $\mathscr{E}_4$ des points $M$ du plan tels que $\vv{AD}\cdot \vv{BM}=-2$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
