\begin{exercice}[Aire d'un triangle et formule des sinus] On considère un triangle $ABC$ dans lequel on note $AB=c$, $AC=b$ et $BC=a$ et $A'$, le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.
\partie[Aire d'un triangle]
\begin{enumerate}
  \vspace{-\baselineskip}\item Tracer trois figures (on tracera $[BC]$ horizontalement) :
   \begin{itemize}
     \item l'une où le point $A'$ appartient à $[BC)$ privé de $B$ ;
     \item une autre où $A'$ est confondu avec $B$ ;
     \item la dernière où $A'$ n'appartient pas à $[BC)$.
   \end{itemize}
  \item Raisonnons par disjonction des cas.
  \begin{enumerate}
    \item Dans les deux premiers cas, montrer que l'on a $AA'=c\sin\left(\widehat{ABC}\right)$.
    \item Dans le troisième cas, montrer préalablement que l'on a $AA'=c\sin\left(\widehat{ABA'}\right)$.

    En déduire que $AA'=c\sin\left(\widehat{ABC}\right)$.
  \end{enumerate}
  \item Montrer que l'aire de $ABC$ est $\dfrac{1}{2}ac\sin\widehat{B}$.
  \item Par symétrie des notations, donner l'aire de $ABC$ en fonction de $\sin\widehat{A}$ puis en fonction de $\sin\widehat{C}$.
\end{enumerate}

\vspace{-\baselineskip}\partie[Formule des sinus]
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item En utilisant la partie précédente, montrer que :

    \centerline{$\dfrac{a}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{b}{\sin\widehat{B}}
    =\dfrac{c}{\sin\widehat{C}}=\dfrac{abc}{2\textrm{Aire de }ABC}.$}

Cette formule est appelée formule des sinus.
  \item Déterminer l'aire d'un triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC=6$ et $\widehat{BAC}=30$\degre.
\end{enumerate}
\end{exercice}
