\begin{exercice}[Formules d'addition]\label{1G3_formule_addition}

\textbf{Prérequis.} On supposera connues les propriétés suivantes :
\begin{itemize}
  \item pour tous réels $a$ et $b$, on a :

  $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$ ;
\item pour tout réel $x$, $\cos(-x) = \cos(x)$,\\
  $\sin(-x) = -\sin(x)$, $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos(x)$\\
  et $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin(x)$.
\end{itemize}
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
\item En remarquant que $a+b=a-(-b)$, exprimer $\cos(a+b)$ en fonction
  de $\cos(a)$, $\cos(b)$, $\sin(a)$ et $\sin(b)$.
  \item \begin{enumerate}
    \item Exprimer $\cos\left((a-b)+\dfrac{\pi}{2}\right)$ en fonction
      de $\sin(a-b)$.
    \item Exprimer $\cos\left(\left(a+\dfrac{\pi}{2}\right)-b\right)$
      en fonction de $\cos(a)$, $\cos(b)$, $\sin(a)$ et $\sin(b)$.
    \item En déduire $\sin(a-b)$ en fonction de $\cos(a)$, $\cos(b)$,
      $\sin(a)$ et $\sin(b)$.
    \end{enumerate}
  \item Déduire $\sin(a+b)$ de la formule trouvée à la question
    précédente.
\end{enumerate}
\end{exercice}
