\begin{exercice}[Distance d'un point à une droite]

On dit que la distance entre une droite $d$ et un point $A$ du plan est la longueur $AA'$ où $A'$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.

\partie[Formule explicite]
On considère une droite $d$ d'équation $ax+by+c=0$ et un point $A(x_A;y_A)$.
\begin{enumerate}
  \item Dans un repère du plan, tracer une droite $d$ quelconque, un point $A$ extérieur à $d$ et $A'$ son projeté orthogonal sur $d$.
  \item Soit $\vv{n}\covec{a}{b}$ un vecteur normal de $d$.

  Montrer que $||\vv{n}\cdot \vv{A'A}||=A'A\sqrt{a^2+b^2}$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Exprimer $\vv{n}\cdot \vv{A'A}$ en fonction de $a$, $b$, $x_A$, $y_A$, $x_{A'}$ et $y_{A'}$.
          \item Justifier que $-ax_{A'}-by_{A'}=c$.
          \item En déduire que la distance entre $A$ et $d$ est :
          $$\dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie[Application]

Soit trois points $F(0\ ;\ 6)$, $G(2\ ;\ -1)$ et $H(-1\ ;\ 3)$.
\begin{enumerate}
  \item Déterminer une équation de $(FG)$.
  \item En déduire la distance de $H$ à $(FG)$.
  \item Calculer l'aire de $FGH$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
