\begin{activite}[Because sinus]\label{1G3_cos}

On considère deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ dont on a tracé des représentants ci-dessous à partir d'un point $O$.

\vspace{-\baselineskip}\parbox{0.3\linewidth}{\centering
\begin{tikzpicture}[general, scale=0.8]
\origineO
\draw [->, epais] (0,0) -- (4,1);
\draw [->, epais] (0,0) -- (2,3);
\draw [->, color=H1, epais] (0,0)--(4/3,1/3);
\draw[color=black] (2,0.5) node[below] {{\boldmath $\vv u$}};
\draw[color=black] (1,1.5) node[above] {{\boldmath $\vv v$}};
\draw[color=black, color=H1] (4/6,1/6) node[below] {{\boldmath $\vv i$}};
\end{tikzpicture}
\par}\hfill\parbox{0.7\linewidth}{
\begin{enumerate}
  \item Soit $\vv{i}$, le vecteur de norme 1, colinéaire et de même sens que $\vv{u}$ ci-contre.
  Exprimer $\vv{i}$ en fonction de $\vv{u}$ et $\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}$.
  \item On introduit alors un vecteur $\vv{j}$ tel que le repère $\left(O\ ;\ \vv{i},\vv{j}\right)$ soit orthonormé direct.
  Reproduire la figure et y placer $\vv{j}$.
  \item Donner les coordonnées de $\vv{u}$ dans $\left(O\ ;\ \vv{i},\vv{j}\right)$.
  \item \begin{enumerate}
    \item Tracer le cercle trigonométrique associé au repère $\left(O\ ;\ \vv{i},\vv{j}\right)$.
    \item Caractériser le vecteur $\dfrac{1}{\left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}}\vv{v}$ en termes de direction et de norme puis tracer son représentant d'origine $O$.
    \item En déduire les coordonnées de $\dfrac{1}{\left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}}\vv{v}$ puis celles de $\vv{v}$ dans $\left(O\ ;\ \vv{i},\vv{j}\right)$.
  \end{enumerate}
  \item En déduire que $\vv{u}\cdot \vv{v}=\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}\times \left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}\times \cos\left(\vv{u}\ ;\ \vv{v}\right)$.
\end{enumerate}}
\end{activite}
