\begin{activite}[Une statue pour \'Evariste][\tice]

\begin{partie}[Perpendicularité sans équerre]
Dans la cour d'un lycée, on souhaite installer une statue du mathématicien \'Evariste Galois. Celle-ci mesure \um{1,811}, en hommage à son année de naissance, 1811.\smallskip

\`A cause de la forme de la statue, on ne peut pas utiliser d'équerre afin de l'ériger perpendiculairement au sol.

 Sophie propose alors d'accrocher un décamètre (\textbf{gradué en \umm{}}) au sommet $S$ du crâne de \og Galois \fg{} et de mesurer la distance entre ce point et un autre point $A$ situé au sol, à \um{1,5} du pied de la statue $P$, comme sur le graphique ci-dessous.

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, scale=2]
{\draw[color=D1, epais] (0,0)--(1.5,0) ;}
{\draw[color=B1, epais] (1.5,0)--(1.19,1.78) ;}
{\draw[color=C1, epais] (0,0)--(1.19,1.78) ;}

\draw (1.19,1.78) node[above]{$S$} ;
\draw (0,0) node[below]{$A$} ;
\draw (1.5,0) node[below]{$P$} ;
\draw (0.75,0) node[below]{Sol} ;
\draw (1.345,0.89) node[above, rotate=-80.12]{Statue} ;
\draw (0.595,0.89) node[above, rotate=56.24]{Décamètre} ;
\draw (1.345,0.89) node[left]{\nombre{1,811}} ;
\draw (0.75,0) node[above]{\nombre{1,5}} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\vfill
\begin{center}
\begin{cadre}[A1][A4]Un décamètre est un ruban gradué de \um{10} de long.
\end{cadre}
\end{center}
  \vfill
\end{minipage}

Elle affirme qu'ensuite, le calcul de la quantité $p=AS^2-AP^2-PS^2$, où $AS$, $AP$ et $PS$ sont exprimées en mètre, lui permettra de répondre au problème posé.
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Déterminer quelle doit être la valeur de $p$ pour que la statue soit perpendiculaire au sol.
          \item Quelle serait alors la mesure $AS$ ?
        \end{enumerate}
  \item Expliquer pourquoi il n'est pas possible d'obtenir une mesure de $AS$ aussi précise avec le décamètre.
  \item   \begin{enumerate}
          \item Lors d'un premier essai, Sophie a mesuré $p=-4,089721$.

          En déduire $AS$ puis, en bleu, représenter la situation à l'échelle 1/10e sur une feuille de papier millimétré ou à petits carreaux.
          \item Lors d'un deuxième essai, Sophie a mesuré $p=-2,289721$.

          En déduire $AS$ puis, en noir, représenter la situation sur le graphique précédent.
        \end{enumerate}
  \item Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique et régler le nombre de décimales à 10.
    \begin{itemize}
      \item Créer deux points $A(0\ ;\ 0)$ et $P(\nombre{1,5}\ ;\ 0)$.
      \item Créer un cercle de centre $P$ et de rayon \nombre{1,811}.
      \item Créer un curseur $b$ variant de \nombre{1,8} à \nombre{3} avec un pas de \nombre{0,001} puis créer le cercle de centre $A$ et de rayon $b$.
      \item Créer $S$ le point d'intersection des deux cercles, d'ordonnée positive.
      \item Créer le nombre $p$ défini par $p=b^2-\nombre{1,5}^2-\nombre{1,811}^2$.
      \item Faire varier $b$ de sorte que la \og statue \fg{} soit \og la plus perpendiculaire au sol possible \fg.
    \end{itemize}
  \item Recopier et compléter.
  
  Plus $p$ est proche de \ldots\ldots\ldots{}, plus la statue semble \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
  \item En déduire la valeur de $AS$ que doit mesurer Sophie sur le décamètre (dont la précision est le \umm{}) pour avoir une statue la plus stable possible.  Combien vaudra alors $p$ ?
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[Avec des vecteurs]
Pour deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ du plan, on définit leur produit scalaire, noté $\vv{u}\cdot\vv{v}$, par :
$$\vv{u}\cdot\vv{v}=\dfrac{1}{2}\left(\left\Vert{}\vv{u}+\vv{v}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}^2-\left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}^2\right).$$
\begin{enumerate}
  \item Tracer un vecteur $\vv{u}$ d'origine $A$ et d'extrémité $B$ puis un vecteur $\vv{v}$ d'origine $B$ et d'extrémité~$C$.
  \item Exprimer $\vv{u}\cdot\vv{v}$ en fonction de $AB$, $AC$ et $BC$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Comment définiriez-vous des vecteurs orthogonaux (on pourra penser aux repères orthogonaux) ?
          \item En vous inspirant de la partie précédente, expliquer pourquoi on dit que $\vv{u}\cdot\vv{v}$ mesure le défaut d'orthogonalité entre les vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{activite}
