\begin{TP}[Une inégalité remarquable]\label{1G3_cs}

Le but de ce TP est de montrer l'inégalité de Cauchy-Schwartz :

Pour tout vecteur $\vv{u}$ et $\vv{v}$, on  a $\left\Vert{}\vv{u}\cdot\vv{v}\right\Vert{}\leqslant \left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}\left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}$.\medskip

Pour cela, considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left\Vert{}\vv{u}+x\vv{v}\right\Vert{}^2$.
\begin{enumerate}
  \item Quel est le signe de $f$ ?
  \item Montrer que $f(x)=x^2\left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}^2+2(\vv{u}\cdot\vv{v})x+\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}^2$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Calculer le discriminant $\Delta$ de la fonction du second degré $f$.
          \item D'après la question 1, quel est le signe de $\Delta$ ?
          \item En déduire que $4\left(\vv{u}\cdot\vv{v}\right)^2\leqslant 4\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}^2\left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}^2$.
          \item Conclure.\medskip
       \end{enumerate}
\end{enumerate}

Pour montrer cette inégalité, on aurait aussi pu utiliser la formule du cours :
\begin{center}
$\vv{u}\cdot \vv{v}=\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}\times \left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}\times \cos\left(\vv{u};\vv{v}\right)$
\end{center}
 mais cela aurait-été nettement moins amusant !

Cette formule permet également de montrer facilement que cette inégalité n'est une égalité que si, et seulement si, les vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires.




\end{TP}
