\begin{TP}[En prenant la tangente][\tice]\label{tangente_cercle1}
Dans tout le TP, le plan est muni d'un repère orthonormé.

\partie{Une définition de la tangente}
Le but de cette partie est de dégager, à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, une définition de la tangente à un cercle en un point de celui-ci.
\begin{enumerate}
  \item Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique.
  \item Créer un point $A$ quelconque et un curseur $r$ variant de $0$ à $5$.
  \item Créer le cercle de centre $A$ et de rayon $r$.
  \item Créer un point $B$ sur ce cercle puis, avec l'outil \verb"Tangentes", créer la tangente au cercle au point $B$.
  \item Créer le rayon $[AB]$. Que remarque-t-on ?
  \item Faire varier $r$ et bouger $A$ dans le plan et $B$, sur le cercle.

  La remarque précédente semble-t-elle encore valide ?
  \item Soit $\mathscr{C}$ un cercle de centre $A$.

  Proposer une définition de la tangente à $\mathscr{C}$  en un point $B$ de ce cercle.\smallskip

  Dans la suite, on prendra cette définition de la tangente.\medskip

  \emph{Les parties \emph{\RefPartie{tangente_cercle2}}, \emph{\RefPartie{tangente_cercle3}} et \emph{\RefPartie{tangente_cercle4}} peuvent être traitées indépendamment.
}\end{enumerate}

\partie{Une propriété géométrique}\label{tangente_cercle2}

\vspace{-\baselineskip}
\begin{enumerate}
  \item Sur la figure précédente, dans le logiciel de géométrie dynamique, créer un point $D$ sur le cercle, non diamétralement opposé à $B$, puis la tangente au cercle en ce point $D$.
  \item Créer le point $E$, intersection des deux tangentes.
  \item \'Emettre une conjecture sur le triangle $DBE$.
  \item Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}

\partie{\'Equation d'une tangente}\label{tangente_cercle3}
Soit $\mathscr{C}$ le cercle de centre $A(4\ ;\ 1)$ et de rayon $\sqrt{5}$.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que $B(5\ ;\ 3)$ appartient à $\mathscr{C}$.
  \item Déterminer par le calcul une équation cartésienne de $T$, la tangente à $\mathscr{C}$ en $B$.
\end{enumerate}

\partie{Tangente passant par l'origine}\label{tangente_cercle4}

Soit $\mathscr{C}$ le cercle de centre $A(4\ ;\ 1)$ et de rayon $\sqrt{5}$.

On cherche à déterminer s'il existe un ou des points de $\mathscr{C}$ en lesquels la tangente à $\mathscr{C}$ passe par l'origine.
\begin{enumerate}
  \item Soit $M(x\ ;\ y)\in\mathscr{C}$.  Montrer que le point $M$ répond au problème posé si et seulement si
  $$\left\{\begin{array}{l}
                                                                               (x-4)^2+(y-1)^2=5 \\
                                                                               (x-4)(x-0)+(y-1)(y-0)=0
                                                                             \end{array}
  \right..$$
  \item Montrer que le système précédent est équivalent à $\left\{\begin{array}{l}
                                                                               x^2-4x+y^2-y+(-4x+16-y+1)=5 \\
                                                                               x^2-4x+y^2-y=0
                                                                             \end{array}
  \right.$ puis le résoudre.
  \item Conclure.
  \item Contrôler avec un logiciel de géométrie.
\end{enumerate}


\end{TP} 